Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema
Só com compasso, dividir em quatro arcos iguais uma dada circunferência.
\fbox{1}:\; Com centro num ponto
\;O\; há uma infinidade de circunferências; designamos essa família por
\;(O).\; Cada uma das circunferências daquela família fica bem definida se lhe associarmos o número que corresponda à distância única a que se encontram os seus pontos do seu centro - raio
\;r\;. Um elemento da família
\;(O)\; pode designar-se por
\;(O, \;r)\; ou por
\;(O, \;P)\; sendo
\; OP=r\; Considere dada a circunferência a apresentada.
\fbox{2}:\; Toma-se um ponto
\;A\; qualquer incidente em
\;(O, \;r),\; que pode ocupar qualquer posição na circunferência dada.
\;OA=r\;
\fbox{3}:\;Fica bem determinada uma circunferência de centro em
\;A\; a passar por
\;O\; que pode ser representada por
\;(A, \;O),\; ou por
\;(A, \;r).\; pois
\;AO = OA = r.\; Ficam bem determinados dois pontos na intersecção
\;(O, \;r). (A, \;r)\; tomamos um deles que designamos por
\;B\;: OA=AB=\;
=BO=r.\;
\fbox{4}:\; A circunferência
\;(B, \;O)\; centrada em
\;B\; que passa por
\;O\; intersecta
\;(O,A)\; em dois pontos:
\;A\; e um outro a que chamamos
\;C\; sendo
\;OA=AB=BC=CO=r\;
\fbox{5}:\; Do mesmo modo, a circunferência
\;(C, \;O)\; intersecta
\;(O, \;r)\; em dois pontos sendo um deles
\;B\; e outro a que chamamos
\;D,\; sendo
\;OB=BC=CD=DO=r\;
Resumindo: os triângulos
\;[AOB], \;[BOC],\;[COD]\; são equiláteros e iguais e, por isso, é raso o ângulo
\;AÔD = AÔB+BÔC+CÔD\; e
\;A,\; O,\; D\; são colineares ou seja
\;AD\; é um diâmetro de
\;(O\;r)\; dividindo-a em duas semi-circunferências.
\fbox{6}:\; Usando circunferências (compassos) podemos determinar pontos equidistantes de
\;A\; e
\;D\; para além de
\;O\;. Por exemplo, as intersecções
\;(A, \;C).(D,\;B)\; são pontos equidistantes de
\;A\; e
\;D\; já que
\;[ABC]\; e
\;[BCD]\; são triângulos isósceles iguais por terem um lado comum igual aos outros dois
\;AB=BC=CD \; de onde se tira que
\;AC=BD\;. Tomemos um desses, por exemplo,
\;E\; ponto da mediatriz do diâmetro
\;[AD].\;
Sabemos que
\;C\; e
\;E\; são pontos da mesma circunferência
\;(A, \;C) e por isso
\;AC=AE.\; E sabemos também que o triângulo
\;[ACD]\; está inscrito na circunferência
\;(O,\; r)\; e, por isso, é um triângulo retângulo em
\;C\; de hipotenusa
\;AD,\; de onde decorre que
\;AD^2= AC^2+CD^2,\; ou seja
\;4r^2=AE^2 +r^2 \equiv AE^2=3r^2\;.
Também
\;[AEO]\: é um triângulo rectângulo. De catetos
\;EO, \;OA\; e hipotenusa
\;EA, \; logo é
\;EO^2+OA^2=EA^2,\; ou seja
\;EO^2 =3r^2-r^2=2r^2.\;
\fbox{7}:\; Tomando para centros os extremos do diâmetro
\; A\; ou
\;D\; e raios iguais a
\;OE\;, as circunferências
\;(A, \;OE)\; e
\;(D, \;OE]\; intersectam-se em dois pontos
\; F, \;G:\; AF=DF=AG=DG=OE. \;
\;[AFD]\;é um triângulo isósceles de altura
\;FO:\; FO^2 +OA^2 =AF^2=OE^2, \; ou seja
\;FO^2=2r^2-r^2=r^2\; e isso faz de
\;F\; um ponto de
\;(O, \;r).\; De forma análoga, se prova que
\;G, \; também ponto de
\;(A,\;OE),\; incide em
\;(O, \;r).\;
Podemos concluir que os pontos
\;G, \;D,\; F,\;A\; de
\;(O,\;r)\; são tais que
\;GD=DF=FA==AG\;
Howard Eves.
Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.
