O 6º lugar geométrico da lista - pontos P tais que PA=k.PB, dados A, B e k≠1

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Os 3º e 4º lugares geométrico da lista eram defnidos como conjuntos de pontos $\;P\;$ a igual distãncia de dois pontos dados $\;A\;$ e $\;B\;$ - mediatriz de $\;AB\;$ - ou a igual distância de duas retas concorrentes $\;a\;$ e $\;b\;$ (bissetrizes dos ângulos $\;\angle \hat{a, b}.$
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para $\;k=1\;$ Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim $$\left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\}$$ e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
Quando as circunferências se intersetam temos pontos $\;P\;$ tais que $\;PA=PB. \;$ Um dos pontos do segmento $\;AB\;$ verifica essa condição: o ponto médio $\;M\;$ onde se tocam as circunferências de raio $\;\displaystyle \frac{AB}{2}\;$ centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
E se tomarmos $k\neq 1$?
VI. O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante $\;k>0 \wedge k\neq 1\;$ a razão das suas distâncias a dois pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ dados é a circunferência de diâmetro $\;IE, \;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ dividem $\;AB\;$ interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos $\;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}$?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:

1. Tomamos os pontos $\;A\;$ e $\;B,\;$ a reta $\;AB\;$, um seletor $\;d\;$ e um outro $\;k.\;$
2. Para um valor de $\;k, \;$ tomámos uma circunferência centrada em $\;B\;$ e de raio $\;d\;$ e outra circunferência centrada em $\;A\;$ e de raio $\;d.k$. Se estas circunferências se intersetarem em $\;C,\;$ este ponto está à distância $\;d\;$ de $\;B\;$ e $\;d.k\;$ de $\;A$. A razão das distâncias de $\;C\;$ a $\;A\;$ e de $\;C\;$ a $\;B\;$ é $\;k\;$ e $\;C\;$ será um ponto do lugar geométrico que procuramso determinar.
3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) está associado ao seletor $\;d$. Para um valor de $\;k$, para cada valor de $\;d\;$ (variável) obtemos $\;C\;$ e $\;D$, pontos do lugar geométrico referido a $\;A$, $\;B\;$ e esse valor de $\;k$. Os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$ deixam traço e pode acompanhar o desenho quando $\;d\;$ toma diferentes valores.
   

   © geometrias, 5 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. À semelhança do que aconteceu com o ponto $\;M\;$ médio de $\;AB\;$ para $\;k=1$, aqui também há um valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências $\;B(d)\;$ e $\;A(d.k)\;$ se tocam num ponto $\;I\;$ de $\;AB\;$ e um outro valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências se tocam num ponto $\;E$. Pode aproximar-se desses pontos deslocando o cursor $\;d$.
5. Para cada $\;k,\;$ estes $\;I\;$ e $\;E\;$ são os centros das homotetias de razão $\;\pm k\;$ que transformam $\;B\;$ em $\;A\;$ e as circunferências centradas em $\;B\;$ de raios $\;d\;$ nas circunferências centradas em $\;A\;$ de raios $\;d.k$
6. Na nossa construção, $\;\forall k>0 \; \; $ $ \;\frac{IA}{IB}=-k,\; \; \frac{EA}{EB}=k\; \;$ e $ \;\frac{AC}{BC}=k\;$ (razão entre os raios das duas circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ homtéticas de razão $\;k$):
   • $\;I\;$ divide internamente $\;AB\;$ em $\;AI\;$ e $\;IB$, sendo $\;AI=k.IB$.
   • $\;E\;$ divide externamente $\;AB\;$ em dois segmentos $\;AE\;$ e $\;EB,\;$ sendo $\;AE=k.EB$
7. Os pontos $\;I\;$ e $\;E\;$ separam harmonicamente $\;A\;$ e $\;B\;$, já que a razão dupla $$\;(AB, IE)=\frac{AI \times EB}{IB \times AE} = \frac{k}{-k} =-1$$ Para cada $\;(A,\; B,\; k)\;$, pode variar $\;d\;$ (e logo $\;C\;$), mantendo-se $\;I\;$ e $\;E\;$ inalterados. Estes pontos são os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo $\;\angle A\hat{C}B\;$ na reta $\;AB$, no triângulo $\;ABC\;$ em que $\;CA=k.CB$
8. Quer dizer que os pontos $\;C$: $\;CA=k.CB\;$ são do lugar geométrico que procuramos determinar e estão sobre a circunferência de diâmetro $\;IE$, já que $\;I\hat{C}E\;$ é um ângulo reto.
9. Para que a circunferência de diâmetro $\;IE\;$ seja o lugar geométrico que procuramos definir, só falta provar que qualquer ponto $\;P\;$ da circunferência de diâmetro $\;IE\;$ satisfaz a condição $\;\displaystyle \frac{PA}{PB}=k$. Sabemos que $\;I\;$ e $\;E\;$ satisfazem essa condição e que $\;(AB, IE) = -1$. O feixe de concorrentes $\;(PA, PB, PI, PE)\;$ é harmónico já que a secção por $\;AB\;$, $\;{A,B,I,E}\;$ é um quaterno harmónico, ou que $\;I\;$ é conjugado harmónico de $\;E\;$ relativamente a $\;A\;$ e $\;B$. Neste feixe harmónico, $\;PI \perp PE\;$ e, portanto, bissetrizes do ângulo $\;A\hat{P}B\;$. Por isso e por construção de $\;I\;$ e $\;E$: $$k=\frac{IA}{IB}=\frac{PA}{PB}$$
10. A esta circunferência de diâmetro $\;IE\;$ cujos extremos dividem $\;AB\;$ em segmentos cuja razão é $\;k\;$ chamamos circunferência de Apolónio para os pontos $\;A, \;B\;$ e valor $\;k$

Na construção, além de animar $\;d$, pode deslocar o ponto do seletor $\;k\;$ e verificar o que se passa quando $\;k\;$ toma diferentes valores, especialmente, quando $\;k\;$ toma o valor $\;1$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964