22.1.14

Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica


A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

© geometrias, 22 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.
Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007
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