Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (18)

Problema: Determinar os pontos para os quais as suas distâncias a duas retas dadas têm uma dada soma.

A construção a seguir ilustra a determinação desse lugar geométrico.

1. Dados (a azul): duas reta $\;a, \;b\;$ e um segmento que representa a soma das distâncias $\;s=d_a+d_b\;$ em que $\;d_a\;$ e $\;d_b\;$ representam a distância a $\;a\;$ e a $\;b\;$ respetivamente.
2. Usando o 2º lugar geométrico da lista,
   • os pontos que estão à distância $\;d_a+d_b\;$ de $\;b\;$ consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a $\;b\;$ e os pontos de interseção destas retas com a reta $\;a\;$ são os pontos $\;A, \;A'\;$ relacionados por uma meia volta de centro $\;O = a.b\;$
     $\;A, \;A'\;$ são soluções do problema.
   • os pontos que estão à distância $\;d_a+d_b\;$ de $\;a\;$ consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a $\;a\;$ e os pontos de interseção destas retas com a reta $\;b\;$ são os pontos $\;B, \;B'\;$ relacionados por uma meia volta de centro $\;O \;(a.b)\;$
     $\;B, \;B'\;$ são soluções do problema.




© geometrias, 12 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Tomamos dois segmentos $\;d_a\;$ (violeta) e $\;d_b\;$ (castanho) nas condições do problema. E, usando o 2º lugar geométrico da lista,
   • O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;d_a\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', \;a''\;$ (violeta) paralelas a $\;a\;$
   • O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;d_b\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', \;b''\;$ (castanho) paralelas a $\;b\;$
   • Os pontos de interseção de cada par destas retas estão simultaneamente à distância $\;d_a\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;d_b\;$ de $\;b\;$ de soma dada, a saber: $\;P (a'.b'), \;P' (a''.b''), \;Q (a''.b'), \;Q'(a'.b'')\;$
   • $\;d_a, \;d_b\;$ podem tomar os valores de $\;0\;$ a $\;s=d_a+d_b\;$ e
     quando $\;d_a=0\;$, $\;d_b =s$ ($\;P=A, \;P'=A',\;Q=A, \;Q'=A'$);
     quando $\;d_a=s\;$, $\;d_b =0$ ($\;P=B', \;P'=B, \;Q=B, \;Q'=B'\;$)
   • Para cada par $\;(d_a, d_b)\;$, nas condições já descritas, os pontos $\;P, \;Q, \;P', \;Q'\;$ são os vértices de ângulos de lados paralelos a $\;a\;$ e a $\;b\;$. A variação dos valores de $\;d_a\;$ e $\;d_b= \;s-d_a\;$ corresponde tão só à passagem de ângulos para outros iguais (lados paralelos) em que a variação crescente de uma das distâncias num sentido da perpendicular a $\;a\;$ (ou a $\;b\;$) é compensada pela variação decrescente igual no sentido da perpendicular a $\;b\;$ (ou a $\;a\;$), como é óbvio, já que $\; d_a+d_b=s \Leftrightarrow d_a +\delta + d_b -\delta=s \;$
     Ou seja, qualquer variação de $\;d_a\;$ (e correspondente variação de $\;d_b \;$) equivale a passar de um ângulo para outro de igual amplitude e com a mesma bissetriz.
     Os pontos $\;P\;$ e $\;Q \;$ do lugar geométrico estarão obrigatoriamente sobre as bissetrizes (perpendiculares) dos quatro ângulos formados pela reta $\;a\;$ com a reta paralela a $\;b\;$ à distância $\;s\;$ de $\;b\;$, etc
4. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a duas retas dadas têm uma soma dada é o retângulo $\;ABA'B'\;$ cujas diagonais $\;AA'\;$ e $\;BB'\;$$ são segmentos das retas dadas .

Clicando sobre o botão de animação em baixo à esquerda, pode acompanhar os efeitos da variação das distâncias às retas. Também pode alterar os dados: tanto a soma dada como as posições das retas

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17a)

Problema: Determinar um ponto a partir do qual se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ de uma dada reta $\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

1. Dados(a azul): uma reta $\;a\;$ e três pontos $\;A, \;B, \;C\;$ sobre ela.
2. Tomemos um ângulo $\;\alpha = C\hat{A}D\;$. Os pontos $\;P\;$ a partir dos quais se traçam retas $\;PA\;$ para $\;A\;$ e $\;PB\;$ para $\;B\;$ sendo $\;A\hat{P}B =\alpha\;$ estão sobre dois arcos de circunferências congruentes dos quais $\;AB\;$ é uma corda comum (5º lugar geométrico da lista).
   
   

   © geometrias, 2 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Do mesmo modo se determina o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ dos pontos tais que $\;B\hat{P}C=\alpha\;$.
4. No caso da nossa construção, para o $\;alpha\;$ inicialmente considerado, há dois pontos $\;H, \;H'\;$ que satisfazem as condições do problema; são as interseções dos lugares geométricos (5º da lista) relativos a $\;\alpha\;$ e a $\;AB\;$ um deles e a $\;BC\;$ o outro.
5. Claro que o segmento $\;AB\;$ e $\;BC\;$ podem ser vistos segundo ângulos iguais de outra amplitude.

Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$ e $\;C\;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (15)

Problema: De um quadrilátero $\;ABCD\;$, inscritível numa circunferência, conhecemos um vértice $\;A$, a amplitude do ângulo $\;\angle Â\;$ e os comprimentos de um dos lados adjacentes ao ângulo $\;AB\;$ e das diagonais $\;AC, \;BD$.    Determinar os restantes vértices $\;B, \;C, \;D\;$ desse quadrilátero.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto

1. Dados (a azul): um ângulo $\;\alpha\;$ de amplitude igual à do ângulo $\; \angle BÂD\;$ um segmento $\;A_0B_0\;$ de comprimento igual ao lado $\;AB\;$; um segmento $\;A_0C_0\;$ de comprimento igual à diagonal $\;AC\;$; um segmento $\;B_0D_0\;$ de comprimento igual à diagonal $\;BD\;$
2. O vértice $\;B\;$ é um dos pontos que está à distância $\;A_0B_0\;$ do vértice $\;A\;$ (1º lugar geométrico da lista). Tomemos um ponto sobre a circunferência $\;(A, \;A_0B_0)\;$ e designemo-lo por $\;B\;$.
   
   

   © geometrias, 28 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Os pontos $\;B, \;A\;$ definem a reta $\;AB\;$ e podemos construir o ângulo de vértice $\;A\;$ e lados $\;AB, \;AD\;$
   O ponto $\;D\;$ está no segundo lado do ângulo $\;\angle \alpha\;$ e à distância $\;B_0D_0\;$ de $\;B\;$, ou seja, na interseção da circunferência $\;(B, \;B_0D_0)\;$ com o segundo lado do ângulo $\;\angle BÂD\;$
4. Há um só ponto equidistante dos pontos $\;A, \;B, \;D\;$ (interseção das mediatrizes dos segmentos $\;AB\;$ e $\;BD\;$ - 3º lugar geométrico da lista) e por isso há uma única circunferência a passar por $\;A, \;B, \;D\;$ - 1º lugar geométrico da lista dos pontos equidistantes a um dado ponto.
   Assim, sendo inscritível o quadrilátero terá os seus quatro vértices sobre a circunferência determinada por $\;A, \;B, \;D\;$, a castanho na figura.
   $\;C\;$ está à distância $\;A_0C_0\;$ de $\;A\;$, ou seja na circunferência $\;(A, \;A_0C_0)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
   No caso da nossa figura, $\;C\;$ é um dos dois pontos de interseção das circunferências $\;(A, \;B, \;D)\;$ e $\;(A, \;A_0C_0)\;$

Podemos variar a amplitude $\;\alpha\;$ e os comprimentos $\;A_0B_0\;$ $\;A_0C_0\;$ e $\;B_0D_0\;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)

Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e um seu ponto $\;P\;$, uma circunferência de centro $\;C\;$
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. Para ser tangente a $\;a\;$ no ponto $\;P\;$, o centro $O$ da circunferência requerida na perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$ - $\;\perp_P^a$.
   
   

   © geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro $\;C\;$ o centro $\;O\;$ da circunferência requerida será tal que $\;OC\;$ é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
   Se tormarmos a reta $\;e\;$ do lugar geométrico dos pontos à distância de $\;a\;$ igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), $\;CEO\;$ é um triângulo isósceles. $\;E\;$ é $\;e.\perp_P^a$
   
4. $\; O_1\;$ é a interseção da perpendicular $\;PE\;$ com a mediatriz de $\;CE\;$ (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;E\;$)
   A circunferência de centro em $\;O_1\;$ a passar por $\;P\;$ satisfaz o requerido.
5. Do mesmo modo, considerando $\;f\;$ e $\;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a$ $\;O_1, \;O_2\;$, a mediatriz de $\;FC\;$ interseta a $\;\perp_P^a$ num ponto $\;O_2\;$. Este é o centro da segunda circunferência a passar por $\;P\;$ que satisfaz as condições do problema.

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)

Problema: Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
       Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O$, dois pontos $\;P,\;Q\;$

Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;A\;$ da circunferência dada, de tal modo que $\;P\hat{A}Q\;$ seja um ângulo reto.

1. O lugar geométrico dos pontos tais que as retas tiradas para dois extremos $\;P\;\;,\;Q\;$ de um segmento fazem um ângulo é constituído por dois arcos de circunferências congruentes que têm por corda comum $\;PQ\;$. No caso, como $\;P\hat{A}Q$ é reto, o lugar geométrico são dois semicírculos, ou seja $\;PQ\;$ é um diâmetro. Obviamente, os extremos do diâmetro não são pontos do lugar geométrico (5º lugar geométrico da lista)
   

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   Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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   © geometrias, 16 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Construímos o lugar geométrico dos pontos tais que $\;P\hat{A}Q\;$ é reto; nada mais que a circunferência de diâmetro $\;PQ\;$, excetuando os seus pontos $\;P\;$ e $\;Q\;$ - tracejada a castanho, na figura.
3. Qualquer dos pontos de interseção da circunferência de diâmetro $\;PQ\;$ (centro $\;M\;$) com a circunferência dada de centro $\;O\;$, caso existam, resolve o problema.
4. No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\;A\;$ e $\;A'\;$.
O triângulo $\;APQ\;$ é retângulo em $\;A\;$. Tomemos os segundos pontos de interseção das retas $\;AP\;$ e $\;AQ\;$ com a circunferência de centro $\;O\;$ dada, que designámos por $\;B\;$ e $\;C\;$ respetivamente. Como $\;A\;, B\;, C\;$ são pontos da dada circunferência centrada em $\;O\;$, a hipotenusa $\;BC\;$ oposta ao ângulo reto em $\;A\;$, passa pelo ponto $\;O\;$.
O triângulo $\;ABC\;$ está bem definido e tem as propriedades requeridas pelo problema.
5. O triângulo $\;A'B'C'\;$ obtido de forma análoga ao $\;ABC\;$ é outra solução do problema.

Para a circunferência dada, fazendo variar algum dos pontos $\;P; \;Q\;$ (ou ambos) confirmará que pode haver duas, uma ou zero soluções.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

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Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.

• Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
• Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...

Instrumentos euclidianos

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As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

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No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.