Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

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Problema: Construir um triângulo $\;ABC\;$ de que são dados o lado $\;AB\;$, a altura $\;h_{AB}\;$ e a mediana $\;m_{AB}\;$ relativa ao lado dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos $\;A,\;B\;$ e dois segmentos mediana e altura .
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto $\;C\;$, vértice oposto a $\;AB\;$ tal que:

1. o segmento da perpendicular a $\;AB\;$, tirada por $\;C\;$, $\;CH_{AB}\;$, tem comprimento igual ao segmento altura dado:
   • isto é, $\;C\;$ é um ponto do lugar geométrico dos pontos $P$ que distam da reta $\;AB\;$ uma altura que é constiuído pelas duas retas paralelas $\;c''\;$, que distam uma altura de $\;AB\;$ (2º lugar geométrico da lista).
   e
2. $\;CM_{AB}\;$ é igual ao segmento mediana dado
   • isto é, $\;C\;$ é um ponto do lugar geométrico dos pontos $P$ que distam do ponto $\;M_{AB}\;$, médio de $\;AB\;$, o comprimento da mediana que é uma circunferência de centro $\;M_{AB}\;$e raio igual à mediana dada. (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 5 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;C, D, E, F \;$ Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: $\;ABC\;$, $\;ABD\;$, $\;ABE\;$ e $\;ABF\;$.