Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três retas $\;a, b, c\;$ dadas tenham razões $\;\displaystyle \frac{t}{u}, \frac{u}{v}, \frac{t}{v}$.
Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas $\;a$ (azul), $\;b$ (castanho) e $\;c$ (verde) e três segmentos $\;t$, $\;u$ e $\;v$
Chamámos $\;A\;$ ao ponto de interseção das retas $\;b\;$ e $\;c\;$ : $\;\{A\} = b.c$. E do mesmo modo, $\;\{B\} = a.c$ e $\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', a''$(azul tracejado) paralelas a $\;a\;$ e a igual distância $\;t\;$ de $\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;u\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', b''\;$ paralelas a $\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;v\;$ de $\;c\;$ é constituído pelas retas $\;c', c''\;$ paralelas a $\;c$.
3.
Cada um dos pontos de interseção $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;u\;$ de $\;b\;$. E a razão das suas distâncias a $\;a\;$ e a $\;b\;$ é $\;\displaystyle \frac{t}{u}$. Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas $\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção $\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas $\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em $\;A\;$ e de vértices $\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas $\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em $\;B\;$ e vértices $\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$.
5.
Qualquer ponto $\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando $\;d_1\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;a\;$, $d_2$ à distância de $\;X\;$ a $\;b\;$ e $\;d_3\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;c\;$, sabemos que $$ \frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q, R, S$.
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e $\;t=u=v$, estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas $\;(b, c)$, $\;(a, c)\;$ e $\;(a, b)\;$, sendo os pontos procurados o incentro $\;I\;$ e os excentros $\;I_1, I_2, I_3$.
Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas $\;a$ (azul), $\;b$ (castanho) e $\;c$ (verde) e três segmentos $\;t$, $\;u$ e $\;v$
Chamámos $\;A\;$ ao ponto de interseção das retas $\;b\;$ e $\;c\;$ : $\;\{A\} = b.c$. E do mesmo modo, $\;\{B\} = a.c$ e $\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', a''$(azul tracejado) paralelas a $\;a\;$ e a igual distância $\;t\;$ de $\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;u\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', b''\;$ paralelas a $\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;v\;$ de $\;c\;$ é constituído pelas retas $\;c', c''\;$ paralelas a $\;c$.
© geometrias, 26 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra
3.
Cada um dos pontos de interseção $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;u\;$ de $\;b\;$. E a razão das suas distâncias a $\;a\;$ e a $\;b\;$ é $\;\displaystyle \frac{t}{u}$. Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas $\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção $\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas $\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em $\;A\;$ e de vértices $\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas $\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em $\;B\;$ e vértices $\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$.
5.
Qualquer ponto $\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando $\;d_1\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;a\;$, $d_2$ à distância de $\;X\;$ a $\;b\;$ e $\;d_3\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;c\;$, sabemos que $$ \frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q, R, S$.
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e $\;t=u=v$, estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas $\;(b, c)$, $\;(a, c)\;$ e $\;(a, b)\;$, sendo os pontos procurados o incentro $\;I\;$ e os excentros $\;I_1, I_2, I_3$.
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