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1.6.14
Resolver problema de construção, usando meias voltas e translações
Problema: São dados cinco pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$. Estes pontos são os pontos médios dos lados de um pentágono $\;PQRST\;$ desconhecido. Reconstruir o pentágono.
Este problema está referido no livro Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15) e já aqui foi citado, bem como o artigo Cinco pontos, um problema e cinco resoluções, publicado no número 79 da revista Educação e Matemática de Setembro/Outubro de 2004. Recomendamos a leitura do artigo que conta uma história e apresenta 5 resoluções. Na circunstância, chamamos a atenção para a resolução usando transformações de Maria Dedò.
O enunciado é o que José Paulo Viana propõe numa mensagem a Eduardo Veloso.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando nos sucessivos botões 2, 3, ... acompanha os passos da resolução/demonstração(?).
Este problema está referido no livro Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15) e já aqui foi citado, bem como o artigo Cinco pontos, um problema e cinco resoluções, publicado no número 79 da revista Educação e Matemática de Setembro/Outubro de 2004. Recomendamos a leitura do artigo que conta uma história e apresenta 5 resoluções. Na circunstância, chamamos a atenção para a resolução usando transformações de Maria Dedò.
O enunciado é o que José Paulo Viana propõe numa mensagem a Eduardo Veloso.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando nos sucessivos botões 2, 3, ... acompanha os passos da resolução/demonstração(?).
- Estão dados os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ médios dos lados do pentágono de vértices $\;P, \;Q, \;R,\;S,\;T\;$ cujas posições desconhecemos e queremos construir.
- Consideremos $\;A\;$ ponto médio de $\;PQ\;$, $\;B\;$ ponto médio de $\;QR\;$, $\;C\;$ ponto médio de $\;RS\;$, $\;D\;$ ponto médio de $\;ST\;$, $\;E\;$ ponto médio de $\;TP\;$.
Sejam quais forem as posições de $\;P\;$ e de $\;Q\;$, sabemos que estão relacionados por uma transformação de meia volta centrada em $\;A\;$; $\;Q\;$ e $\;R\;$ estão relacionados por uma meia volta centrada em $\;B\;$ …
Não sabendo a posição de $\;P\;$, tomemos $\;P_1\;$ para uma "falsa" posição de $\;P$artida. E $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P_1& \longmapsto& P_2 &\longmapsto&P_3&\longmapsto& P_4 &\longmapsto&P_5 & \longmapsto & P'_1\\ \end{matrix}$$ - Fácil é verificar que a composta de duas meias voltas é uma translação: $$\forall P_1, \;\;\left({\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o)\right) (P_1)={\cal{R}}(B, 180^o)\left( {\cal{R}}(A, 180^o ) (P_1)\right)={\cal{R}}(B, 180^o) (P_2) = P_3 $$ $$ {\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}}: \;\;\;\; P_1 \longmapsto P_3$$ Do mesmo modo, $$ {\cal{R}}(C, 180^o) \circ {\cal{R}}(D, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}}: \;\;\;\; P_3 \longmapsto P_5$$ A composta das duas translações é uma translação. Assim: $${\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}} \circ {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}} = {\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})} : \;\;\; P_1 \longmapsto P_5 $$ que é o mesmo que dizer que as quatro primeiras meias voltas são equivalentes a uma translação.
-
Se a composta de duas meias voltas é uma translação, a composta de uma translação com uma meia volta é uma meia volta:
$$\begin{matrix}
&{\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})}&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\
P_1 & \longmapsto & P_5 & \longmapsto & P'_1
\end{matrix}$$
Se $\;P_1\;$ fosse a posição verdadeira de $\;P\;$, então seria $\;P_2 \equiv Q, \; \;P_3 \equiv R, \;\;P_4 \equiv S, \;\;P_5 \equiv T, \; \;\;\;P'_1 \equiv P$.
Para a meia volta que a $\;P_1 \;$ faz corresponder $\;P'_1\;$ tem um ponto invariante, o centro da meia volta que é o ponto médio de todos os segmentos $P_1P'_1$ em que $\;P_1\;$ é um ponto qualquer de $\;P'_1\;$ é o seu correspondente por cinco meias voltas sucessivas: de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$.
É esse ponto médio de todos os $\;P_1P'_1\;$ que tomamos para $\;P\;$
Variando as posições de $\;P_1\;$, podemos constatar que a posição de $\;P\;$ fica invariante. - Finalmente, pode constatar que a sucessão de meias voltas de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ permite determinar os vértices $\;Q, \;R, \;S, \;T\;$ sendo $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P& \longmapsto & Q & \longmapsto &R &\longmapsto & S& \longmapsto &T&\longmapsto& P\\ \end{matrix}$$
© geometrias, 1 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra
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12.5.14
Resolver problema de construção usando homotetia
Problema: Desenhar uma circunferência que passa por um ponto dado, $\;A\;$, que seja tangente a duas retas dadas $\;a, \;b$.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas.
Deslocando o cursor $\;\fbox{k=1, ..., 5}\;$ ao fundo à direita, pode seguir os passos da construção.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas.
© geometrias, 12 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra
Deslocando o cursor $\;\fbox{k=1, ..., 5}\;$ ao fundo à direita, pode seguir os passos da construção.
- São dados um ponto $\;A\;$ e duas retas $\;a, \;b$.
- Para que uma circunferência seja tangente a duas retas $\;a, \;b\;$ é preciso que tenha centro equidistante delas. Esse centro está sobre uma bissetriz do ângulo das duas retas quando elas se intersetam ou sobre uma reta paralela a $\;a, \;b\;$ quando estas são paralelas. No caso da nossa construção, as retas $\;a.b\;$ são concorrentes em $\;O$. E, como sabemos, na bissetriz do ângulo das duas retas incidirá o centro de qualquer das circunferências tangentes a $\;a\;$ e $\;b$.
- Tomamos um ponto $\;G\;$ sobre a bissetriz e a circunferência nele centrada tangente a $\;a\;$ em $\;I\;$ e a $\;b\;$ em $\;H\;$.
- Duas circunferências tangentes a $\;a\;$ e $\;b$ são correspondentes por alguma homotetia de centro $\;O$; Para determinar a homotetia entre uma circunferência $\;(G)\;$ e a circunferência que passa por $\;A\;$, basta traçar a reta $\;OA\;$ e a sua interseção $\;J\;$ com $\;(G)\;$. A homotetia de centro em $\;O\;$ que transforma $\;J\;$ em $\;A\;$ transforma $\;G\;$ em $\;K\;$, este obtido pela interseção da bissetriz com a paralela a $\;JG\;$ tirada por $\;A$.
- A circunferência de centro em $\;K\;$ que passa por $\;A\;$ é a homotética de $\;(G)\;$ tangente à reta $\;a\;$ no homotético de $\;I\;$ e à $\;b\;$ no homotético de $\;H\;$
16.4.14
Transformações geométricas do plano: generalidades.
Ao longo dos anos, fomos abordando e usando transformações geométricas do plano, em resposta a necessidades de estudo circunstanciais. Como agora vai acontecer, de resto.
Nas próximas entradas, vamos resolver problemas de construção geométrica com recurso a transformações geométricas ou usando o método das transformações, como escreve Howard Eves em Fundamentals of Modern Elementary Geometry já referido em várias entradas.
Repetidamente, Eduardo Veloso tem chamado a atenção para a falta das transformações geométricas na formação dos professores e no ensino, considerando que "as transformações são apenas tocadas ao de leve no ensino básico e completamente ignoradas no ensino secundário" (Educação Matemática nº 79 de 2004). Nessa reflexão publicada, sob o título "Cinco pontos, um problema e cinco soluções", Eduardo Veloso tenta uma explicação para não utilizarmos as transformações geométricas para a demonstração e/ou resolução de problemas de construção. Já no livro "Geometrias - Temas Actuais", Eduardo Veloso refere as diferentes perspectivas, desde a geometria sintética, passando pelo método das coordenadas (geometria analítica) até ao que designa como método das transformações geométricas (perspetiva funcional da geometria) para a resolução de problemas geométricos. Ao lado dessas perspectivas, Eduardo Veloso acrescenta a perspectiva vectorial (autónoma da geometria analitica). Recorrendo aos diversos métodos e perspectivas, apresenta diferentes resoluções de um mesmo problema e diferentes demonstrações de um mesmo teorema.
Mais recentemente, no seu livro "Simetrias e Transformações Geométricas", Eduardo Veloso volta a insistir no uso das transformações geométricas na resolução de problemas de construção geométrica, apresentando diversas propostas de trabalho nesse sentido.
Nas próximas entradas, vamos resolver problemas de construção geométrica com recurso a transformações geométricas ou usando o método das transformações, como escreve Howard Eves em Fundamentals of Modern Elementary Geometry já referido em várias entradas.
Repetidamente, Eduardo Veloso tem chamado a atenção para a falta das transformações geométricas na formação dos professores e no ensino, considerando que "as transformações são apenas tocadas ao de leve no ensino básico e completamente ignoradas no ensino secundário" (Educação Matemática nº 79 de 2004). Nessa reflexão publicada, sob o título "Cinco pontos, um problema e cinco soluções", Eduardo Veloso tenta uma explicação para não utilizarmos as transformações geométricas para a demonstração e/ou resolução de problemas de construção. Já no livro "Geometrias - Temas Actuais", Eduardo Veloso refere as diferentes perspectivas, desde a geometria sintética, passando pelo método das coordenadas (geometria analítica) até ao que designa como método das transformações geométricas (perspetiva funcional da geometria) para a resolução de problemas geométricos. Ao lado dessas perspectivas, Eduardo Veloso acrescenta a perspectiva vectorial (autónoma da geometria analitica). Recorrendo aos diversos métodos e perspectivas, apresenta diferentes resoluções de um mesmo problema e diferentes demonstrações de um mesmo teorema.
Mais recentemente, no seu livro "Simetrias e Transformações Geométricas", Eduardo Veloso volta a insistir no uso das transformações geométricas na resolução de problemas de construção geométrica, apresentando diversas propostas de trabalho nesse sentido.
Transformações geométricas do plano: generalidades
Definições e notações:
- Seja $f$ uma correspondência que associa a cada ponto $P$ do plano (ou ${\rm I\kern-.17em R}^2 $) um e um só ponto $P' =f(P)$ do plano (ou ${\rm I\kern-.17em R}^2 $): $$P \neq Q \Rightarrow f(P) \neq f(Q)$$ $$ \forall Q, \; \exists P :\; f(P)=Q$$ Chamamos transformação geométrica do plano a uma correspondência $f$, biunívoca, entre os pontos do plano, assim definida.
- Se $f$ e $g$ são duas transformações geométricas do plano, a correspondência que resulta de as aplicarmos sucessivamente, $g$ após $f$, é obviamente uma transformação geométrica. Escrevemos $$\begin{matrix} &g&&f&\\ P& \longmapsto & Q&\longmapsto R \end{matrix} \:\:\:\: \mbox{ou} \:\:\:\: \begin{matrix} &g\circ f& \\ P \:\:\:\: &\longmapsto & R \end{matrix} $$ $$ g\circ f(P) = g(f(P)) = g(Q) = R$$. Chamamos composição (ou produto) de $f$ com $g$ à transformação geométrica $g\circ f$. Claro que, se $f$ e $g$ são transformações geométricas, $f\circ g$ também é transformação geométrica.
- Se $f$ é uma transformação geométrica do plano tal que $$\begin{matrix} &f&\\ P& \longmapsto & Q \end{matrix}, $$ também é transformação geométrica a correspondência $f'$ tal que $$\begin{matrix} &f'&\\ Q& \longmapsto & P \end{matrix}$$ a que chamamos inversa de $f$ e representamos por $f^{-1}$.
- Há uma transformação geométrica a que chamamos identidade do plano, que faz corresponder a si mesmo cada ponto $P$ do plano $$\begin{matrix} &id&\\ P& \longmapsto & P \end{matrix} $$
- É claro que $f^{-1}(f(P))=f^{-1}(Q)=P\; \;\;$ e $\; \;\;f(f^{-1}(Q)) = f(P) =Q$. E escrevemos $$\begin{matrix} &f&&f^{-1}&\\ Q& \longmapsto & P&\longmapsto Q \end{matrix} \:\:\:\: \mbox{ou} \:\:\:\: \:\:\:\:\begin{matrix} &f\circ f^{-1}=id&\\ Q& \:\:\:\:\longmapsto & Q \end{matrix} $$ $$\begin{matrix} &f^{-1}&&f&\\ P& \longmapsto & Q&\longmapsto P \end{matrix} \:\:\:\: \mbox{ou} \:\:\:\: \:\:\:\:\begin{matrix} &f^{-1}\circ f=id&\\ P& \:\:\:\:\longmapsto & P \end{matrix} $$
- O conjunto das transformações geométricas munido com a operação binária composição (ou produto) é um grupo
8.3.14
Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (8)
Problema:Construir um triângulo de que se conhecem um ângulo, o lado a ele oposto e a mediana relativa ao lado conhecido.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados: dois pontos $\;B\;C\;$,segmento $\;a=BC\;$,comprimento da mediana $\;m_{BC}$, ângulo de amplitude $\;\alpha\;$.
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;A\;$ , 3º vértice do triângulo $\;ABC\;$ de que se conhecem $\;B,\;C\;$, sabendo que $\;\angle B\hat{A}C\;$ terá de ser igual a $\;\alpha\;$ e $\;AM_{BC}=m_{BC}\;$
3.
A interseção dos lugares geométricos (5º e 1º, para os dados do problema) são os pontos $\;A, \; \; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\;$.
Há, em consequência, quatro triângulos $\;ABC, \; \; A_1 BC ,\; A_2 BC,\; A_3 BC\;$, a vermelho na figura, que satisfazem as condições requeridas
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados: dois pontos $\;B\;C\;$,segmento $\;a=BC\;$,comprimento da mediana $\;m_{BC}$, ângulo de amplitude $\;\alpha\;$.
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;A\;$ , 3º vértice do triângulo $\;ABC\;$ de que se conhecem $\;B,\;C\;$, sabendo que $\;\angle B\hat{A}C\;$ terá de ser igual a $\;\alpha\;$ e $\;AM_{BC}=m_{BC}\;$
- O 5º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos, dos quais partem retas para os extremos $\;B,\;C\;$ de um segmento fazendo um ângulo $\;\alpha\;$, estão sobre dois arcos congruentes de duas circunferências com uma corda - $\;a=BC\;$ - comum.
- O lugar geométrico dos pontos à distância $\; m_{BC}\;$ de $\;M_{BC}\;$, ponto médio de $\;BC\;$, estão na circunferência de centro $\;M_{BC};$ e raio $\; m_{BC}\;$ (1º lugar geométrico da lista)
© geometrias, 8 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
3.
A interseção dos lugares geométricos (5º e 1º, para os dados do problema) são os pontos $\;A, \; \; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\;$.
Há, em consequência, quatro triângulos $\;ABC, \; \; A_1 BC ,\; A_2 BC,\; A_3 BC\;$, a vermelho na figura, que satisfazem as condições requeridas
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6.3.14
Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (6)
Problema: Construir uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas e a passar por um ponto dado.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ e um ponto $\;P\;$ dados .
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;O\;$ a igual distância das retas paralelas e do ponto $\;P\;$.
3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;O_1 \;\mbox{e} \; O_2 \;$ Há, em consequência, duas circunferências de raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ e centros $\;O_1 \;\mbox{e}\; O_2 \;$ que são soluções do problema.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ e um ponto $\;P\;$ dados .
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;O\;$ a igual distância das retas paralelas e do ponto $\;P\;$.
- O 2º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos equidistantes de uma reta $\;m\;$ estão sobre retas paralelas a ela. Assim, é óbvio que o lugar geométrico dos pontos $\;M\;$ equidistantes das retas $\;a, \; b\;$ à distãncia $\;d\;$ uma da outra, será a reta a elas paralela e a meia distância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ entre $\;a\;$ e $\;b\;$. Os pontos $\;O\;$ procurados estão, por isso, sobre $\;m\;$.
- O lugar geométrico dos pontos à dstância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ de $\;P\;$ estão na circunferência de centro $\;P\;$ e raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista)
© geometrias, 6 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;O_1 \;\mbox{e} \; O_2 \;$ Há, em consequência, duas circunferências de raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ e centros $\;O_1 \;\mbox{e}\; O_2 \;$ que são soluções do problema.
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