Problema de construção —análise e síntese (9)

---

De vez em quando vamos acrescentando problemas de construção euclidiana (régua e compasso) usando um outro dos métodos já apresentados seguindo vários autores que foram sendo referenciados. Hoje resolvemos um problema de quadrados a partir da análise das propriedades de quadrados, ângulos, … triângulos isósceles,….

Problema: Construir um quadrado de que é dado um segmento de comprimento igual à soma $\;d+l"\;$ dos comprimentos da diagonal e do lado.

---

F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, Problema 41.

---

Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um quadrado $\;[ABCD]\;$ sendo $\;AB=BC=CD=DA=l,\; AC=BD=d.\;$ Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares se bissetam num ponto e bissectam os ângulos retos do quadrado. Cada uma das diagonais divide o quadrado em dois triângulos rectângulos isósceles. $\;ABC, \;CDA\;$ por $\;AC\;$ e $\;DAB, \; BCD\;$ por $\;DB.\;$
O que temos é um segmento de reta de comprimento $\;d+l = \overline{AC}+\overline{CD}.\;$ Tomada uma reta qualquer e sobre ela o segmento de reta de extremos $\;A\;$ e $\;E\;$ como uma extensão da diagonal $\;AC,\;$ o vértice $\;C\;$ do quadrado é o ponto que divide $\;AE = d+l\;$ em $\;AC=d\;$ e $\;CE=l.\;$
Chamemos $\;M\;$ ao ponto médio de $\;AE,\;$ podemos construir um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa $\;AE\;$ e catetos $\;AF, \;EF\;$ sendo $\;F\;$ a intersecção da perpendicular a $\:AE\,$ tirada por $\;M\,$ com uma semicircunferência de diâmetro $\;AE\;$. Este triângulo isósceles é meio quadrado de diagonal $\;AE\;$ Sobre o cateto $\;AF\;$ deste triângulo $\;AEF,\;$ incidirá o vértice $\;D\;$ do quadrado que procuramos. Como $\;AE\;$ é a reta da diagonal $\;AC, \;\; CD \parallel EF \perp AF\;$

---

A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações desveladas na análise acima feita. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 5}.\;$

8 janeiro 2018, Criado com GeoGebra

Considerando as considerações acima, podemos apresentar em síntese, os passos da nossa construção bem justificados.

Para $\;\fbox{n= 1}:\;$ a figura apresentada ilustra os dados $\;A, \;E,\;AE= d+l$, para além do cursor $\;\fbox{n=1,..., 5}.\;$

Para $\;\fbox{n= 2}:\;$ acrescentamos

• o ponto $\;M\;$ médio de $\;AE\;$ e a perpendicular a $\;AE\;$ tirada por $\;M\;$ — mediatriz — (recorrendo a $\;(A, \;AE). (E,\;EA)),\;$ por exemplo).
• o ponto $\;F\;$ numa intersecção $\; \displaystyle (\perp_M AE) . (M,\;ME)\;$ e os catetos $\;EF, \;FA\;$ triângulo retângulo isósceles de hipotenusa $\;AE.\;$

Para $\;\fbox{n= 3}:\;$ acrescentamos a bissetriz do ângulo $\; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\;$ que determina o vértice $\;D\;$ do quadrado na sua intersecção com $\;AF. \;$ Como $\;CD \parallel EF\;$ e uma paralela a $\;EF\;$ fará um ângulo da mesma amplitude de $\; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\;$ sendo ângulo externo do triângulo determinado por estas últimas 3 retas e igual à soma dos ângulos internos a ele não adjacentes e que devem ser de iguais amplitudes —$\;\displaystyle \frac{\pi}{8}\;$ para que os lados opostos a cada um deles sejam iguais, ou seja $\; DC=CE\;$ já que $\;C \;$ é tal que $\;AE = AC+CD=d+l. \;$

Para $\;\fbox{n= 4}:\;$ acrescentam-se

• o ponto $\;C\;$ como $\; (\parallel_D EF).AM\;$
• as retas $\; \displaystyle (\perp_A AF)\;$ e $\; \displaystyle (\perp_C EF)\;$
• o ponto $\;B\;$ como intersecção $\; \displaystyle (\perp_A AF) . (\perp_C EF)\;$
• os segmentos de reta $\; AB, \;BC, \; CD, \;DA\;$ como lados do quadrado que procurámos.

Para $\;\fbox{n= 5}:\;$ realçamos o interior do quadrado $\;[ABCD].\;$      □

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)

Problema: Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

---

Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

---

1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$, um segmento $\;d\;$, uma circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;r\;$
   
   Resolver este problema resume-se a determinar um ponto $\;P\;$ da reta $\;a\;$ de que se tire uma tangente $\;t\;$ a $\;(O, r)\;$ sendo $\;PT = d\;$, em que T é o seu ponto de tangência.
2. Um ponto $\;P\;$ de $\;a\;$ que satisfaz as condições requeridas é vértice de um triângulo $\;PTO\;$ retângulo em $\;T\;$ em que os catetos são $\;PT=d\;$ e $\;TO = r\;$ conhecidos e a hipotenusa é $\;OP\;$
   Para determinar $\;OP =h\;$ basta tomar o triângulo retângulo de catetos $\;r, \; d\;$.
   
   

   © geometrias, 27 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

   ---

3. E o ponto $\;P\;$, se existir fica determinado pela interseção de $\;a\;$ com a circunferência $\;(O, h)\;$, No caso da nossa figura ficam determinados dois pontos $\;P.\;Q\;$ : $\;PO = QO = h$, sendo $\;h^2=r^2+d^2\;$
   
4. Os pontos $\;T\;$ de tangência encontarm-se na interseção de $\;(O, r)\;$ com a circunferência de diâmetro $\;OP=h\;$ (caso particular do 5º ou do 9º lugar geométrico da lista). Na nossa figura, para o ponto $\;P\;$ há duas tangentes $\;t_1\;$ e $\;t_2\;$, para as quais $\;PT_1 = PT_2 = d\;$, como queríamos.
5. Outras soluções, no nosso caso, são as tangentes a $\;(O, \;r)\;$ tiradas por $\;Q\;$

Podemos variar os comprimentos $\;d\;$ $\;r\;$ e as posições relativas das circunferência e reta dados. Verificamos que a existência de soluções depende da relação entre o comprimento de $\;d\;$ e as posições relativas de $\;a\;$ e $ \;(O,r)\;$

Transportar comprimento

Exercício interactivo
Com as ferramentas disponíveis, determinar o ponto D (alvo) que é tal que |AD|=|BC|. Nota: A ilustração antiga feita em CaR deixou de estar disponível e vai ser substituída não como antigamente e antes pelas etapas de resolução .