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27.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)

Problema: Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.

  1. Dados (a azul): uma reta \;a\;, um segmento \;d\;, uma circunferência de centro \;O\; e raio \;r\;

    Resolver este problema resume-se a determinar um ponto \;P\; da reta \;a\; de que se tire uma tangente \;t\; a \;(O, r)\; sendo \;PT = d\;, em que T é o seu ponto de tangência.
  2. Um ponto \;P\; de \;a\; que satisfaz as condições requeridas é vértice de um triângulo \;PTO\; retângulo em \;T\; em que os catetos são \;PT=d\; e \;TO = r\; conhecidos e a hipotenusa é \;OP\;
    Para determinar \;OP =h\; basta tomar o triângulo retângulo de catetos \;r, \; d\;.

    © geometrias, 27 de Março de 2014, Criado com GeoGebra


  3. E o ponto \;P\;, se existir fica determinado pela interseção de \;a\; com a circunferência \;(O, h)\;, No caso da nossa figura ficam determinados dois pontos \;P.\;Q\; : \;PO = QO = h, sendo \;h^2=r^2+d^2\;
  4. Os pontos \;T\; de tangência encontarm-se na interseção de \;(O, r)\; com a circunferência de diâmetro \;OP=h\; (caso particular do 5º ou do 9º lugar geométrico da lista). Na nossa figura, para o ponto \;P\; há duas tangentes \;t_1\; e \;t_2\;, para as quais \;PT_1 = PT_2 = d\;, como queríamos.
  5. Outras soluções, no nosso caso, são as tangentes a \;(O, \;r)\; tiradas por \;Q\;

Podemos variar os comprimentos \;d\; \;r\; e as posições relativas das circunferência e reta dados. Verificamos que a existência de soluções depende da relação entre o comprimento de \;d\; e as posições relativas de \;a\; e \;(O,r)\;

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