Problema: Por um ponto dado tirar uma reta a intersetar uma dada circunferência em pontos tais que as suas distâncias a uma reta dada têm uma dada soma.
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto
Podemos variar o comprimento \;s\; e as posições de \;P\;, \;a\; e \;(O)\;, verificar as condições de existência de soluções (0, 1 ou 2).
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto
- Dados (a azul): um segmento \;s\;, um ponto \; P\;, uma circunferência e centro \;O\; e uma reta \;a\;
- Tomemos uma reta que passe por \;P\; e corte a circunferência \;(O)\; em \;A\; e \;B\;. Na nossa figura, traçamos ainda as distâncias \;AA'\; de \;A\; a \;a\; e \;BB'\; de \;B\; a \;a\;
Como veremos, a resolução do nosso problema resume-se a encontrar o ponto médio da corda definida pela reta a passar por \;P\;
© geometrias, 2 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra
- Os pontos \;A, \;B\;, colineares com \;P\; que satisfazem o problema são tais que \;AA'+BB'= s\; e para o ponto médio \;M\; de \;AB\; será então \;2\times MM' =s\;
Ou seja o ponto médio de \;AB\; requerido estará à distância conhecida \displaystyle \frac{s}{2} da reta \;a\;: retas \;a', \;a''\; (2º lugar geométrico da lista ) - As retas tiradas por \;P\; que cortam a circunferência \;(O)\; estão entre as retas \;PT_1\; e \;PT_2\; determinando cordas cujos pontos médios estão sobre a circunferência de diâmetro \;PO\;. Uma delas contém o diâmetro e \;O\hat{M}P\; é reto ou, como sabemos, \;OM\; é mediatriz da corda \;AB\; de \;(O)\;. A existirem soluções para o problema, cada uma delas fica determinada pela construção do ponto médio da corda.
- O ponto médio da corda \;AB\; determinada por uma reta a passar por \;P\; tal que \;AA'+BB'= s\; é obtido como a interseção do arco \;T_1T_2\; da circunferência de diâmetro \;PO\; com a reta \;a'\; ou \;a''\; (2º lugar geométrico da lista). Uma das soluções do problema, no caso da nossa construção, é a reta \;PM\;. Outra solução será \;PN\;
Podemos variar o comprimento \;s\; e as posições de \;P\;, \;a\; e \;(O)\;, verificar as condições de existência de soluções (0, 1 ou 2).
