Problema: Construir uma circunferência que passe por um ponto \;A\; dado e corte duas circunferências - \;c_1, \;c_2\; - dadas segundo os ângulos \; \alpha , \; \beta \; respetivamente.
O ângulo de uma reta \;r\; com uma circunferência que a corte num ponto \;P\; é um ângulo de vértice P cujos lados são r e a tangente à circunferência em \;P.\; Se duas circunferências se cortam, dizemos que se cortam segundo um ângulo \;\alpha \; quando as tangentes às duas num ponto de interseção fazem um ângulo de amplitude \; \;\alpha .\; Neste caso, temos de encontrar uma circunferência que corte \;c_1\; segundo um ângulo \; \alpha\; (verde) e \;c_2\; segundo o ângulo \;\beta \; (castanho).
Para isso bastará inverter as circunferências dadas relativamente a uma circunferência de inversão e depois encontrar uma reta que corte as inversas segundo aqueles ângulos. Como a inversão conserva os ângulos se invertermos essa reta obteríamos uma circunferência a cortar as dadas segundo os ângulos dados. Esta circunferência inversa da reta deve passar pelo ponto \;A\; dado e, para isso acontecer, bastará que a circunferência de inversão tenha centro em \;A.\;
Os procedimentos necessários já foram dissecados antes, por exemplo, na antepenúltima entrada publicada a 20 de dezembro do passado ano em que se apresentava a resolução do problemma " Construir uma circunferência que passe por dois pontos \;A,\;B\; dados e corte uma reta dada segundo um dado ângulo \; \alpha. \;
© 5 janeiro 2016, Criado com GeoGebra
Na figura - \;\fbox{n=0}\; - estão patentes os dados do problema.
Em - \;\fbox{n=1}\;- acrescenta-se uma circunferência \;i\; de centro \;A\; (raio qualquer) que vai servir de circunferência de inversão.
\;\fbox{n=2}\; - A inversão relativa à circunferência \;i\; ou \;(A)\; transforma a circunferência \;c_1 \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; (O_1) \; numa circunferência \;c'_1\; de centro \;O'_1 e \;(O_2)\; em \;(O'_2)\; (tracejadas)
\;\fbox{n=3}\; - Determinamos as circunferências (pontilhadas) concêntricas com \;c'1 , \;c'_2\; para cada uma das quais qualquer das suas retas tangentes fazem ângulos
- \; \alpha \; com \;c'_1\;, inversa de \;c_1\;
- \; \beta \; com \;c'_2\;
\;\fbox{n=4}.:\; Tomamos uma tangente (laranjada) comum a essas duas circunferências que obviamente cortará \;(c'_1)\; segundo um ângulo \; \alpha\; e \;c'_2\; segundo um ângulo \;\beta\;
\;\fbox{n=5} :\; - Por isso e porque a circunferência da inversão tem centro \;A\;, invertendo a reta alaranjada relativamente a \;(i),\; obtemos uma circunferência que é solução do problema, - \;\fbox{n=6,7}\; - aqui realçada
Claro que no caso dos concretos dados originais e da nossa figura há mais três soluções, já que os nossos dois círcul(inh)os (a pontilhado) admitem quatro tangentes mostradas para \;\fbox{n=8, 9, 10} \;
Pode fazer variações claro....
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