30.4.14

Resolver problema de construção usando lugar geométrico e uma translação

Problema:
De uma dada posição $\;P\;$, observam-se dois pontos assinalados $\;A,\;B\;$ segundo um dado ângulo $\;B\hat{P}A=\alpha\;$ e, depois de percorrer uma dada distância numa dada direção $\;UV\;$, na posição $\;Q\;$ observam-se os pontos assinalados $\;A, \;B\;$ segundo um dado ãngulo $\;B\hat{Q}A= \beta\;$.
Determinar as posições $\;P, \;Q\;$ em que foram feitas as observações.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.


© geometrias, 29 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra


Deslocando o cursor $\fbox{n=1, ..., 5}$  (direita ao fundo) pode ver os passos da resolução.
  1. São dados dois ângulos $\;\alpha, \;\beta\;$ e um segmento $\;UV\;$ ou $\;u\;$, e os dois pontos $\;A, \;B\;$ observados segundo os ângulos dados antes e depois de percorrer, numa direção paralela, uma distância igual a $\;UV\;$
  2. O lugar geométrico dos pontos $\;P$ tais que $\;B\hat{P}A = \alpha\;$ é constituído por 2 arcos (abertos) congruentes para os quais $\;AB\;$ é corda comum um em cada semi-plano dos determinado pela reta $AB$. Na nossa construção tomamos um dos semi-planos definidos por $\;AB\;$ e o arco a verde nesse semi-plano. Do mesmo modo, se determina e se escolhe o arco capaz do ângulo $\;B\hat{Q}A=\beta\;$, a castanho na figura.
  3. Na nossa resolução, usando o método da entrada anterior, aplicamos uma translação segundo o vetor $\overrightarrow{UV}$ ao arco verde $\;(O_1)$, obtendo um arco verde (a tracejado na figura).
    Esta arco interseta o arco castanho $\;(O_2)\;$ num ponto que designamos por $\;N_2$. É, por isso, um dos pontos $\;Q\;$, ou seja, $\;\angle B\hat{N_2}A = \beta$.
  4. O ponto $N_1$ a que corresponde $N_2$ pela translação $\;{\cal{T}}_{\overrightarrow{u}}\;$ tal que $\;N_1 N_2 =UV$ é um ponto do arco verde $\;(O_1)\;$ original, ou seja, $\;\angle B\hat{N_1}A =\alpha$.
  5. Os pontos $N_1$ e $N_2$ são posições de observação pedidas no problema como fica bem ilustrado com a marcação dos ângulos segundo os quais são vistos os pontos assinalados
Este problema é exemplo interessante por ser apresentado com enunciados diversos para vários contextos, propiciar estudo e discussão sobre existência de soluções e mobilizar lugares geométricos e transformações geométricas na sua resolução.
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