Lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais é dada a soma das distâncias a dois planos dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (18)

Problema: Determinar os pontos para os quais as suas distâncias a duas retas dadas têm uma dada soma.

A construção a seguir ilustra a determinação desse lugar geométrico.

1. Dados (a azul): duas reta $\;a, \;b\;$ e um segmento que representa a soma das distâncias $\;s=d_a+d_b\;$ em que $\;d_a\;$ e $\;d_b\;$ representam a distância a $\;a\;$ e a $\;b\;$ respetivamente.
2. Usando o 2º lugar geométrico da lista,
   • os pontos que estão à distância $\;d_a+d_b\;$ de $\;b\;$ consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a $\;b\;$ e os pontos de interseção destas retas com a reta $\;a\;$ são os pontos $\;A, \;A'\;$ relacionados por uma meia volta de centro $\;O = a.b\;$
     $\;A, \;A'\;$ são soluções do problema.
   • os pontos que estão à distância $\;d_a+d_b\;$ de $\;a\;$ consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a $\;a\;$ e os pontos de interseção destas retas com a reta $\;b\;$ são os pontos $\;B, \;B'\;$ relacionados por uma meia volta de centro $\;O \;(a.b)\;$
     $\;B, \;B'\;$ são soluções do problema.




© geometrias, 12 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

---

3. Tomamos dois segmentos $\;d_a\;$ (violeta) e $\;d_b\;$ (castanho) nas condições do problema. E, usando o 2º lugar geométrico da lista,
   • O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;d_a\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', \;a''\;$ (violeta) paralelas a $\;a\;$
   • O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;d_b\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', \;b''\;$ (castanho) paralelas a $\;b\;$
   • Os pontos de interseção de cada par destas retas estão simultaneamente à distância $\;d_a\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;d_b\;$ de $\;b\;$ de soma dada, a saber: $\;P (a'.b'), \;P' (a''.b''), \;Q (a''.b'), \;Q'(a'.b'')\;$
   • $\;d_a, \;d_b\;$ podem tomar os valores de $\;0\;$ a $\;s=d_a+d_b\;$ e
     quando $\;d_a=0\;$, $\;d_b =s$ ($\;P=A, \;P'=A',\;Q=A, \;Q'=A'$);
     quando $\;d_a=s\;$, $\;d_b =0$ ($\;P=B', \;P'=B, \;Q=B, \;Q'=B'\;$)
   • Para cada par $\;(d_a, d_b)\;$, nas condições já descritas, os pontos $\;P, \;Q, \;P', \;Q'\;$ são os vértices de ângulos de lados paralelos a $\;a\;$ e a $\;b\;$. A variação dos valores de $\;d_a\;$ e $\;d_b= \;s-d_a\;$ corresponde tão só à passagem de ângulos para outros iguais (lados paralelos) em que a variação crescente de uma das distâncias num sentido da perpendicular a $\;a\;$ (ou a $\;b\;$) é compensada pela variação decrescente igual no sentido da perpendicular a $\;b\;$ (ou a $\;a\;$), como é óbvio, já que $\; d_a+d_b=s \Leftrightarrow d_a +\delta + d_b -\delta=s \;$
     Ou seja, qualquer variação de $\;d_a\;$ (e correspondente variação de $\;d_b \;$) equivale a passar de um ângulo para outro de igual amplitude e com a mesma bissetriz.
     Os pontos $\;P\;$ e $\;Q \;$ do lugar geométrico estarão obrigatoriamente sobre as bissetrizes (perpendiculares) dos quatro ângulos formados pela reta $\;a\;$ com a reta paralela a $\;b\;$ à distância $\;s\;$ de $\;b\;$, etc
4. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a duas retas dadas têm uma soma dada é o retângulo $\;ABA'B'\;$ cujas diagonais $\;AA'\;$ e $\;BB'\;$$ são segmentos das retas dadas .

Clicando sobre o botão de animação em baixo à esquerda, pode acompanhar os efeitos da variação das distâncias às retas. Também pode alterar os dados: tanto a soma dada como as posições das retas