O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

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O 5º lugar geométrico da lista já foi usado em vários problemas ao longo dos anos.

V. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
Os primeiros cinco passos da construção que se segue determinam-se pontos que verificam as condições dadas e nos restantes organizam-se dados de uma possível construção demonstativa do que seja o lugar geométrico.

1. Começamos por mostrar, para além de um seletor [n], os dados: um segmento e seus extremos A e B; um ângulo α
2. Tomamos um ponto X a rodar em torno de A, ou seja, definidor de retas x a passar por A;
3. Marcamos uma reta r como segundo lado de um ângulo (xAr) igual a α ;
4. Por B tiramos retas paralelas a x e a r;
5. Essas quatro retas intersetam-se duas a duas em AQBP, sendo os ângulos por elas formados em P e Q iguais a α (alternos internos ou correspondentes em sistemas de retas paralelas cortadas por secantes), sempre que P está acima do segmento AB e Q está abaixo de AB.
6. Clicando sobre o botão de animação ao fundo à esquerda, ou movimentando manualmente o ponto X), obtemos pontos P e Q de que partem para A e B retas fazendo um ângulo dado α .

   Para acompanhar os passos da construção, desloque o cursor [n], do seletor, atendendo ao seguinte:

   © geometrias, 31 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

   Pode clicar sobre o botão ao cimo à diretia para voltar ao ponto de partida
7. A partir do passo 5, mostramos como habitualmente construímos com régua e compasso, este lugar geométrico.Começamos por construir sobre um dos extremos um ângulo BÂC=α como na figura. O centro O do arco que subtende o ângulo APB=α está na mediatriz de AB e na perpendicular a AC tirada por A:
   α=AÔC=BÂC por serem da mesma espécie e de lados perpendiculares AB⊥OC e AC⊥AO. Do mesmo modo se conclui que α=BÔC. E AÔB=2α Todos os ângulos inscritos na circunferência de centro O a passar por A e B nas condições descritas em que AÔB=2α
8. Obviamente que se APB não for reto, o lugar geométrico é formado por dois arcos, um da circunferência de centro em O e outro da circunferência e centro O' (imagem de O na reflexão de eixo espelho AB) ambas a passar por A e B. A e B não fazem parte do lugar geométrico já que nem o ângulo AAB nem ABB são iguais a α ≠ 0.
   Quando APB é reto, AB é diâmetro da circunferência e o lugar geométrico será constiuído por duas semicircunferências centradas no ponto médio de AB e abertas (já que A e B não são pontos do lugar geométrico relativo ao enunciado desta entrada ).

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Os 3º e 4º lugares geométricos da lista

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Os dois primeiros lugares geométricos referiam-se a pontos a uma dada distância de um ponto dado (o primeiro) e de uma reta dada (o segundo).
O terceiro e quarto referem-se aos pontos equidistantes de 2 pontos dados ou de duas retas dadas.

III. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (III) dos pontos a igual distância de dois pontos dados. Clique no botão de animação (ao fundo à esquerda) e seja paciente. Verá que

• o ponto médio M do segmento AB faz parte do lugar geométrico;
os pontos de interseção C e D das circunferências de iguais raios centradas em A e B, formam com A e B triângulos isósceles cujas alturas passam por M

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

IV. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (IV) dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas. Use o botão de animação ao fundo à esquerda.

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.

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Os lugares geométricos da LISTA (de Eves) são os seguintes:

1. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de um ponto dado é a circunferência tendo o ponto dado como centro e a distância dada como raio
2. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta.
3. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.
4. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.
5. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
6. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos A e B dados estão numa dada razão k≠1 é a circunferência de diâmetro IE, em que I e E dividem AB interna e externamente em segmentos na razão dada. (Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
7. O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão k é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas. O lugar geométrico (iv) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.
8. O lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma reta perpendicular à reta determinada pelos dos pontos dados.
9. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Todas estas construções podem ser feitas com as reta e a circunferência postuladas por Euclides. Praticamente todas foram abordadas neste geometrias .   Em duas entradas recentes sucessivas, a construção (i) foi realizada primeiro só com circunferência e depois demonstrada com reta e circunferência.

Aqui está a construção que ilustra o lugar geométrico (II) dos pontos a uma distância dada de uma reta dada.

© geometrias, 24 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Visto esse, podemos avançar o seguinte: O lugar geometrico dos pontos a igual distância de duas retas paralelas dadas é uma reta paralela às retas dadas e a meia distância das duas (referido em terceiro lugar da lista de Birkhoff)
Em futuras entradas, ilustraremos e abordaremos com maior ou menor detalhe os restantes lugares da lista, bem como alguns lugares geométricos que usam algum (ou alguns) dos lg da lista .

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
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Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica

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A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

© geometrias, 22 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
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Construções e existência: o lugar geométrico como método?

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Nas entradas anteriores, já referimos exemplos de axiomas, definições e postulados. Quando aceitamos os postulados, estamos a aceitar que para cada dois pontos distintos

1. há uma linha reta que por eles passa;
2. há uma circunferência centrada num deles e a passar pelo outro

Isto é o que fundamentalmente interessa, para o nosso estudo de geometria no plano (euclidiano). Usaremos estas aparentemente simples regras para realizar construções, sempre que construímos algum objeto que satisfaz a uma determinada condição, não só temos uma definição como temos assegurada a existência do definido ou que não é vazio o conjunto dos seres que nomeamos e atribuímos propriedades.
Depois de fixar as regras, o que fizemos foi determinar novos pontos ou figuras (conjunto de pontos) satisfazendo uma condição ou mais.
Determinámos uma circunferência de que conhecíamos o centro e cujo raio intervalo (raio) era dado por outros dois pontos. Para resolver essse problema, só precisámos de recorrer à definição de círculo e ao postulado da circunferência e concentrámo-nos em determinar um ponto de entre os pontos da figura procurada. Esse problema foi feito só com a circunferência postulada. Depois voltámos ao mesmo problema, com recurso à reta (régua) postulada e à circunferência (compasso) postulada.
Podemos resolver problemas só com circunferência, só com reta, com reta e circunferência. E sempre que encontrarmos um processo de resolução com reta e(ou) circunferência que prove a existência de uma figura relacionada com outra ficamos com uma ferramenta composta de vários passos construtivos com as primitivamente postuladas. E acrescentamo-las como ferramentas admissíveis (ou atalhos) ao nosso argumentário construtivo. Esta referência serve para lembrar que uma demonstração de existência ou construção deve poder ser reduzida a argumentos correntes (falados ou escritos) com base em axiomas, poucas regras simples, definições e cadeia de proposições (afirmações verdadeiras,....).
Claro que há muitos problemas que não se resolvem só com as postuladas reta e circunferência de dois pontos e isso, só quer dizer , que há figuras que podemos definir, mas de que não conseguimos provar a existência por construção recorrendo a ferramentas compostas a partir das inicialmente postuladas reta e circunferências por 2 pontos. Sabemos assim que há definições a que podem não corresponder construções com as regras admissíveis.... É bom termos uma imagem como prova do definido, é bom e preciso termos um discurso que substitua a imagem e é bom saber que há critérios para determinar o que pode ou não pode ser feito com as combinações das ferramentas postuladas por Euclides.
Nas próximas entradas vamos ocupar-nos de figuras planas construtíveis com as regras postuladas, isto é vamos resolver problemas de construção, muitos deles já abordados neste lugar por uma ou outra razão. Mas não seguimos as proposições (e suas demonstrações) nos "Elementos".
Varios autores sugerem com insistência uma abordagem autónoma do que habitualmente é nomeado por lugares geométricos como um método de construção e insistem na necessidade de conhecer um grande número de lugares geométricos - retas e círculos - construtíveis, a partir dos quais se podem determinar outros.
Os autores apresentam listas básicas distintas em número e, interessante também, com enunciados diferentes para os mesmos lugares geométricos.
As duas construções apresentadas nas entradas anteriores resolvem, de maneiras diferentes, o mesmo problema. Do mesmo modo, sabemos que a construção de um triângulo isósceles com base dada é a mesma da mediatriz de um segmento, da perpendicular a um segmento no seu ponto médio, do conjunto dos pontos que são equidistantes de dois pontos dados, ...

Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

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Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:

© geometrias, 14 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

1. São dados três pontos O, A, B.
2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
4. A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.

Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.

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Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.

Instrumentos euclidianos

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As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

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No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.

Casos de simetria de figuras. Não caso da inversão/reflexão

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Chamamos simetria de um conjunto de pontos (ou figura) a qualquer isometria que transforma o conjunto de pontos (ou figura) em si mesma. As isometrias do plano que fixam um conjunto de pontos são as simetrias desse conjunto de pontos. O conjunto das simetrias de uma figura, munido da composição, é um grupo - grupo das simetrias da figura.

1. Dizemos que o hexágono regular (à esquerda) é uma figura simétrica pela reflexão de eixo (espelho) representado pela reta vermelha. Admite para além desse eixo de simetria, outros cinco. A imagem do hexágono pela reflexão é o hexágono; para cada reflexão são invariantes os pontos do eixo que a define. O ponto de interseção dos eixos de simetria é um centro de simetria: as rotações de n.60º com n inteiro, em torno desse ponto transformam o hexágono em si mesmo; o centro da simetria é invariante para todas as simetrias de rotação; as rotações de n.360º deixam invariantes todos os pontos do hexágono regular. A simetria de meia volta também é considerada como simetria central ou relativa à reflexão em relação ao centro: a cada P da figura corresponde um ponto P' colinear com P e O(centro) tal que OP=OP'
2. Os triângulos equiláteros da figura II têm 3 eixos de simetria, mas o hexágono (não regular) não. Mas é fácil verificar que esse hexágono tem um centro de simetria - rotação de n.120º, com n inteiro. Claro que estas simetrias de rotação do hexágono II não pode ser considerada uma simetria central no sentido descrito antes para a figura I.

© geometrias, 3 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Notas sobre a inversão (reflexão) que, não sendo isometria do plano, não é simetria de figura do plano:
Dada uma circunferência, por exemplo, haverá alguma inversão (reflexão relativa a uma circunferência) que seja simetria da circunferência? Sabemos que uma circunferência qualquer é imagem de si mesma por inversão relativa a qualquer das suas ortogonais. Mas não é isometria, logo não é uma simetria da circunferência. E qualquer circunferência é inversa de si mesma pela inversão relativamente a si mesma. Mas, mesmo neste caso, em que a restrição da inversão à circunferência de inversão inverte cada ponto em si mesmo, não estamos perante uma simetria já que a inversão não é uma isometria do plano.

Reflexões

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Tomámos duas retas perpendiculares e uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto de interseção das retas perpendiculares. As figuras restantes podem ser obtidas como transformados do polígono (cimo direita, com vértices verdes) por refexões relativamente às retas perpendiculares e à circunferência.

© geometrias, 26 dezembro 2013, Criado com GeoGebra

Deslocando os vértices do polígono (pontos verdes) pode variar o polígono original e observar as mudanças nos corrrespondentes pelas reflexões.

Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação $\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Lembramos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; y=x^2 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para $(x,y)=(0,0)$, a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de $O$. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal $Z (\infty)$. O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.

Coordenadas, equações e inversão (3. Elipse e hipérbole; lemniscatas)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão, a hipérbole de equação $\;\;\;\;x^2 - y^2 = 1 \;\;\;\;$ e a elipse de equação $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Já sabemos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da elipse (verde, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ 10x^2+y^2=10 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \Longleftrightarrow 10x^2+y^2=10\left(x^2+y^2\right)^2 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2 \Longleftrightarrow-100x^4-200x^2y^2 +100x^2-100y^2+10y^2=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da elipse que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

Do mesmo modo, se determina a equação da inversa da hipérbole (a azul): $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ x^2-y^2=1 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 \Longleftrightarrow -x^4-2x^2y^2+x^2-y^4-y^2=0 $$ sendo esta última a expressão apresentada na folha algébrica do geogebra para definir a curva inversa da hipérbole. As curvas obtidas para inversas da elipse e da hipérbole dadas têm equações das famílias das lemniscatas

1. elípticas: $\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2=b^2x^2+a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da elipse}\;\;10x^2+y^2=10\;: \;\;\; \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2$
2. hiperbólicas: $ \;\;\;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = b^2x^2-a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da hipérbole}\;\; x^2-y^2=1 \;:\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 $

As lemniscatas estão entre as - espíricas de Perseus - curvas obtidas como secções do toro por planos paralelos ao seu eixo. Estas classificações constam do "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" de F. Gomes Teixeira (na Biblioteca da José Estêvão, claro!).

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, a hipérbole ou a elipse, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão, da hipérbole e da elipse e as respetivas curvas inversas.

Coodenadas, equações, inversão (2. cónicas: hipérbole)

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Tomamos a hipérbole de equação $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x} \;\;\;\;$ ou $\;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=t \\ \displaystyle y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right.$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Como já vimos, pela inversão $I(O, 1)$, um ponto $P(x,y)$ é transformado noutro ponto $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.
No caso da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $$ P\left(x, \frac{1}{x}\right) \;\;\;\; \longmapsto \;\;\;\; P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+\frac{1}{x^2}}, \frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)$$ Parametricamente: $$ \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right. \;\;\; \longmapsto \;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{t^2 +\frac{1}{t^2}}\times t \\ y=\frac{1} {t^2+\frac{1}{t^2}}\times \frac{1}{t} \end{matrix}\right. $$ Esta última é a equação da curva inversa da hipérbole $\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}\;\;$, que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Se deslocar a hipérbole, pode observar que diferentes hipérboles têm por inversas curvas com diferentes formas.

Inversos de 5 pontos não definem a inversa da cónica por eles definida

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Como sabemos, 5 pontos distintos $A, B, C, D, E$ definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos $A', B', C', D', E'$ (obtidos por uma inversão $I(=O,1)$ ) inversos de $A, B, C, D, E$ não definem a inversa da cónica definida por $A, B, C, D, E$. Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar $\;\fbox{ n }\;$ no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)

© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos $A, B, C, D, E$ obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de $A, B, C, D, E$ (que pode mudar posição a posição de cada ponto)

Coordenadas, equações e inversão (1.retirculos)

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Consideremos um referencial ortonormado $xOy$ e uma circunferência de centro $O(0,0)$ e $\mbox{raio}=1$.
Seja o ponto $P(x,y)$ distinto de $O(0,0)$. Pela inversão $I(O,1)$, $P$ é transformado num ponto $P'(x',y')$ se se verificar que $\overrightarrow{OP} . \overrightarrow{OP'} = 1$, ou seja $P'$ está sobre a semirreta $\dot{O}P$ e $ \overline{OP'} = \displaystyle\frac{1}{\overline{OP}}$
Nestas condições

1. $\angle PÔP'$ é nulo e $\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OP'} =\overline{OP}\times \overline{OP'} = \sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{x'^2 + y'^2} =1$
2. $\overrightarrow{OP}=(x-0, y-0)=(x, y)$, $\overrightarrow{OP'}=(x', y')$ e $ \overrightarrow{OP'}=k.\overrightarrow{OP}$, sendo $k$ real não nulo ou $(x',y')=(kx, ky)$
3. Assim: $\sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} =1$ que é o mesmo que $k(x^2+y^2) = 1$ ou $$ k= \displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$$
4. Concluindo: Para a inversão $I(O,1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ distinto da origem é o ponto $$P'\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

Apoiados na construção que se segue, determinamos: (1) as coordenadas dos inversos de pontos dados pelas suas coordenadas, (2) equação da inversa de uma reta (que não passa por $O$, centro da inversão) dada por uma equação, (3) equação da inversa de uma circunferência (que não passa por $O$) dada pela sua equação.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue passo a passo as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Assinalam-se os pontos $A(\frac{3}{2}, 0)$, $B(0, 2)$ e $C(-2, -1)$ (e os seus inversos)
$\fbox{ n = 3}\;$: Apresenta-se a reta de equação $y=2x+1$ (e a sua inversa)
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresenta-se a circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$ (e a sua inversa)

© geometrias, 11 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Já vimos acima que a inversão $I(O,1)$, no plano cartesiano, fica bem definida por $$\left\{ \begin{matrix} x'=\frac{x}{x^2+y^2}\\ y'=\frac{y}{x^2+y^2} \end{matrix} \right.$$
Passe para $\fbox{ n = 2}\;:\;\;\;\;\;\;A=\left(\frac{3}{2}, 0\right) \longmapsto A'= \left(\frac{2}{3}, 0\right); \;\;\;\;\;\; B=(0, -2) \longmapsto B'=\left(0, -\frac{1}{2}\right); $ e $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; C=(-2, -1) \longmapsto C'= \displaystyle\left(\frac{-2}{5}, \frac{-1}{5} \right)$
Passe para $\fbox{ n = 3}\;$: A equação da inversa da reta (circunferência) $y=2x+1,\;\mbox{que não passa por } (0,0)\;\;\;x^2+y^2\neq 0$), será $$\frac{y}{x^2+y^2}= 2.\frac{x}{x^2+y^2} +1 \Longleftrightarrow y= 2x + x^2+y^2 \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-y=0 $$ ou $$(x+1)^2 +\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{5}{4}$$ $\mbox{circunferência que passa por} \; O\;\; \mbox{e corta} \;\;(O, 1) \mbox{onde a reta}\;\; y=2x+1\;\;$ a corta.

Passe para $\fbox{ n = 4}\;$: A equação da inversa da circunferência de equação $$(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04\;,$$ $\mbox{já que não passa por}\; (0,0) \; \; \mbox{ou para os pontos da qual se verifica}\;\;x^2+y^2 \neq 0$, será $$\left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2} - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{100} \Longleftrightarrow \ldots\\ \ldots \Longleftrightarrow \left(x-\frac{135}{100} \right)^2 +\left(y+\frac{108}{100}\right)^2=\frac{29}{100} $$

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A folha algébrica do GeoGebra permite verificar as equações... obtidas

Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)

3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
   $O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$

Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.

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© geometrias, 9 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (2)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer?(2)

2º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (exteriores uma à outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Para seguir os passos de cada construção a seguir apresentadas, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eT^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ não se intersetam. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_e$ da homotetia de razão positiva que transforma $(C_1)$ e $(C_2)$ para centro da inversão. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_eP$, se não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_e$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_e$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. Para que o inverso de $P$ relativamente a $O_e$ ser $P'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a esta tiradas pelo ponto $P$ a ela exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $PO_e$ em $P'$ com a circunferência de diâmetro $PO_e$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_e$ que transforma o ponto $P$ genérico de $(C_1)$ no ponto $P'$ de $(C_2)$ tem raio $O_eT$.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iR^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão negativa com centro $O_i$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_i$ que transforma $P$ num ponto $P'$ tal que $O_iP \times O_iP'= r^2$, estando $O_i$ entre $P$ e $P'$, tomamos uma circunferência de diâmetro $PP'$ e a perpendicular a $PP'$ tirado por $O_i$. Ficamos com o triângulo $PRP'$ retângulo em $R$, do qual $O_iR$ é a altura relativa a $R$ ou à hipotenusa $PP'$ $O_iR$ é a média geométrica de $PO_i$ e $O_iP$, ou seja, $O_iP\times O_iP'=r^2$ -
Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada, pela inversão acima determinada, na circunferência $(C_2)$.
3. Claro que, por $I(O_i, r^2)$ podemos determinar diretamente outra circunferência inversa de $C_1)$ que é a imagem da circunferência $(C_2)$ dada relativamente a $O_i$, como se pode ver a dado passo da construção feita.
4. Não usámos o método da tangente do caso anterior já que a circunferência de diâmetro $PO_i$ não corta a circunferência $C_2$ dada. Obviamente também não podíamos usar o método dos pontos de interseção das circunferências dadas, já que elas não se intersetam.
5. Este procedimento é equivalente a:
   • Determinar $O_i$ como centro da homotetia negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2$
   • Determinar a circunferência $(K)$ como imagem pela reflexão relativa a $O_i$ de $(C_2)$
   • Claro que $O_i$ é o centro da homotetia positiva entre $(C_1)$ e $(K)$ e calcular $r$ por algum dos métodos já utilizados: circunferência de centro $O_i$ e a passar pelos pontos de interseção das circunferências $(C_1)$ e $(K)$, ou pelo método das tangentes usado no caso em que recorremos à homotetia positiva que relaciona duas circunferências.

© geometrias,3 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (1)

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1º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Para quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ há sempre uma homotetia que transforma uma na outra, ou seja, duas circunferências quaisquer são homotéticas.
2. Na entrada Conservação de ângulos por inversão (2) provámos que A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. resultado que já foi utilizado na resolução de muitos problemas. Estudamos agora o problema de construção mais simples que consiste em utilizar este resultado para determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas, sabendo que o seu centro será o centro de uma homotetia entre elas.
3. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências intersetam-se. E, por isso, a circunferência de inversão terá de passar pelos pontos de interseção das circunferências (inversos de si mesmos) e com centro no centro da homotetia.
4. Apresentam-se duas construções que ilustram a determinação das circunferências de inversão com centros nos centros das duas homotetias que transformam $(C_1)$ em $(C_2)$, sendo estas circunferências concorrentes e de raios diferentes. Claro que se tivessem raios iguais, o centro da homotetia de razão positiva $O_e$ que não pertence ao segmento $C_1 C_2$ seria um ponto do infinito da reta dos centros.

Para seguir os passos de cada construção, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eK^2)$

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iK^2)$

Inverter segmentos de uma reta em segmentos iguais

Temos três pontos $A, B, C$ colineares. Procuremos definir a inversão que transforma $A, B, C$ em $A', B', C'$ de tal modo que $A'B' = B'C'$

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Como os pontos $A, B, C$ são colineares (sobre uma reta $a$). os seus inversos $A', B', C'$ ou são colineares ou são concíclicos.
2. Para que $A'B'$ e $B'C'$ sejam ambos segmentos de reta é necessário que $O$ seja colinear com $A, B, C$ ($O \in a$) e, em consequência, sobre $a$ também estarão $A', B', C'$, sendo $OA \times OA' = OB \times OB' = OC\times OC' =r^2$ se chamarmos $r$ ao raio da circunferência $(O)$ de inversão.
3. Qualquer que seja $O$ de $a$, para $A$ e $B$ de $a$, $\overrightarrow{OA} =\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'}$ e
   $$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}$$ $$(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{OA'} =\overrightarrow{OB}.(\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'})$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{A'B'}$$ $$A'B' = \frac{AB\times OA'}{OB} = \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}$$ Do mesmo modo, se relaciona $B'C'$ com $BC$: $$B'C' = \frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
4. Ser $A'B'= B'C'$ é o mesmo que $$ \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$ ou seja, $$\frac{AB}{OA}= \frac{BC}{OC} \;\;\mbox{ou} \;\; \frac{OA}{OC}= \frac{AB}{BC}$$ Ora a igualdade $$\;\;\displaystyle \frac{OA}{OC}= -\frac{BA}{BC}\;\;\;$$ verifica-se para o ponto $O$ de $a$ que é conjugado harmónico de B, relativamente a $AC$: $$(O, B; A, C)=-1$$

Fica assim demonstrado que a inversão que procuramos é relativa a uma circunferência de centro $O$, bem determinado e único para o terno de pontos $A, B, C$, e raio $r$ qualquer.

Para seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 26 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Triângulo qualquer pode ser invertido em triângulo retângulo

Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo?

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?

Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.

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Par seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
2. Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
3. Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
4. A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
5. $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$

Antiparalelas invertem-se em paralelas

Antiparalelas podem ser invertidas em paralelas

Se $A, B, C, D$ são quatro pontos tais que $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $AD$ e $BC$, então os quatro pontos podem ser invertidos em vértices de um retângulo

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Desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$ para acompanhar os passos da construção

© geometrias, 13 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados $A,B,C,D$ pontos de uma circunferência $(O)$.
2. As retas $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $BC$ e $AD$: $\angle ABC + \angle BCD = 180^o$ e $\angle ABC +\angle CAD = 180^o$.
3. Determinam-se as circunferências:
   • $(O_1)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $A$ e $C$: $O_1$ é a interseção da perpendicular a $AO$ com a mediatriz de $AC$
   • $(O_2)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $B$ e $D$.
4. $(O_1)$ e $(O_2)$ intersetam-se em $X$ e $Y$
5. Toma-se um deles para centro da circunferência de inversão (tracejada a vermelho) com raio $r$ qualquer; no caso tomámos a inversão $I(X,r^2)$
6. A inversa de $(O)$ é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OX$, reta que conterá um dos seus diâmetros.
7. Essa circunferência interseta $\;XA, XB, XC, XD\; $ em $\;A', B', C', D'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C, D$
8. $A'B'C'D'\;$ é um retângulo
9. Nota: Como $\;(O_1)\;$ passa por $A$ e $C$ a sua inversa é a reta $\;A'C'$. Do mesmo modo para $\;(O_2)\;$ cuja inversa é $\;B'D'$. O centro da circunferência inversa de $(O)$ está sobre $OX$, $A'C'$ e $\;B'D'$.

Inversão e antiparalelismo

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Dizemos que duas retas $\;a\;$ e $\;c\;$ são antiparalelas relativamente a duas $\;b\;$ e $\;d\;$ quando o quadrilátero formado pelas quatro retas $a,\; b,\; c,\; d\;$ for cíclico (com os vértices $\;a.b,\; b.c,\; c.d,\; d.a\;\;$ sobre uma circunferência)

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Se $A'$ e $B'$ são inversos de $A$ e $B$, então $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$ (dito de outros modos, $A, A', B, B'$ são vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência ou $A, A', B, B'$ são concíclicos ou os ângulos opostos do quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$ são suplementares)

@ geometrias, 10 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Por definição de $I(O, r^2)$, se a $A$ corrresponde $A'$ e a $B$ corresponde $B'$, $$OA\times OA'=OB \times OB'=r^2 \;\; \mbox{de onde decorre}\;\; \frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB} \;.$$ Por isso, os triângulos $\Delta OAB$ e $\Delta OA'B'$ são semelhantes, (caso $LAL$), pois os pares de lados correspondentes $(OB', OA)$ e $(OA', OB)$ de um ângulo igual $\angle AOB = \angle B'OA'$ são diretamente proporcionais.
Podemos assim, escrever que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB}$$ e $\angle OBA = \angle OA'B'$, opostos respetivamente de $OA$ e de $OB'$; $\angle OAB = \angle OB'A'$, opostos respetivamente de $OB$ e de $OA'$.
Finalmente, como $ \angle OAB$ é suplementar de $\angle BAA'$, este é suplementar de $\angle BB'A'$ e também por $\angle OBA$ é suplementar de $\angle ABB'$, este é suplementar de $\angle AA'B'$.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$, em que os elementos de cada um dos pares $(A, A')$ e $(B, B')$ se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$. $\hspace{0.5 cm}\square$

Máquina: Inversor (de Peaucellier, Lipkin, Hart,…)

Inversor de Peaucellier

O problema de construir um maquinismo articulado para traçar uma reta foi resolvido por A. Peaucellier em 1864. Apesar da invenção ter sido anunciada em 1867, num encontro da Sociedade Filomática de Paris, o trabalho de Peaucellier só teve grande repercussão depois de Lipkin, discipulo de Chebishev, ter reinventado independentemente o mecanismo em 1871. Chebishev tinha tentado provar a impossibilidade de tal mecanismo. Só depois do reconheciemnto de Lipkin na Rússia, é que Peaucellier foi reconhecido e premiado com o grande prémio da Mecânica do Instituto de França. O mecanismo de Peaucellier usa sete barras articuladas com 3 pontos fixos. Em 1874, H. Hart descobriu um maquinismo articulado de 5 barras para desenhar uma reta. Desde então não há notícia de que alguém tenha conseguido reduzir o número de barras necessárias.
Descobriram-se vários mecanismos articulados para construir curvas especiais como cónicas, cardióide, leminiscatas e cissóides. E provou-se que há mecanismos articulados para desenhar qualquer curva algébrica, e que não existe qualquer mecanismo articulado para traçar curvas transcendentes.

Tanto o mecanismo de Peaucellier como o de Hart têm por base a inversão de uma circunferência que passa pelo centro de inversão.
Apresenta-se, na construção seguinte, um inversor que parte de 2 pontos fixos O e D, a partir do qual se define P sobre a circunferência de centro D que passa por P. O fundamental do mecanismo é um losango feito por quatro barras (a castanho), de comprimento dado, articuladas em P, A, P' e B. Também as barras OA e OB (a verde) devem ter o mesmo comprimento, maior que OP. Claro que, DP=DO > OP/2, já que queremos que a circunferência que P percorre (em parte) passe por O se queremos uma reta a ser percorrida por P' inverso de P.
Se P percorresse livremente a circunferência de centro D e raio DP, P' percorreria uma reta acabada. O mecanismo construído tem limitações, como é natural.

Para o caso ilustrado na figura, podemos verificar que a inversão de centro O que transforma P em P' tem potência OA² - PA² (constante, diferença dos quadrados de comprimentos fixados). Assim, considerando nos cálculos, que se seguem, segmentos orientados, temos OP=OC-PC e OP'=OC+PC. Por isso, podemos escrever

OP.OP'=OC² - PC²=(OC²+ CA²) -(PC²+ CA²) =OA² - PA²,
já que 2OC.CA=0 e 2PC.CA=0 (OC perpendicular a CA, e PC perpendicular a CA).

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© geometrias, 5 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry. Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Seja ABC um triângulo. Designando os lados por a=BC, b=AC e c=AB, tiramos as bissetrizes internas e externas dos ângulos do triângulo e chamamos A' e A'' aos pés em a das bissetrizes do ângulo A; B' e B'' aos pés sobre b das bissetrizes de B; C' e C'' aos pés das bissetrizes sobre c do ângulo C. Cada uma das circunferências de diâmetros A'A'', B'B'' e C'C'' (chamadas circunferências de Apolónio) corta cada uma das outras num ângulo de 120 graus.

Este resultado é obtido de forma simples recorrendo à inversão; os ângulos de duas circunferências são os ângulos formados pelas tangentes em ponto de interseção das duas que são preservado por inversão.

Debrucemo-nos sobre um par destas circunferências, de diâmetros B'B'' e C'C'', por exemplo. Para os outros pares, o resultado pode ser obtido de forma inteiramente análoga.

A circunferência de diâmetro B'B' passa por B, porque BB' e BB'' são perpendiculares (bissetrizes interna e externa de B). Do mesmo modo, a circunferência de diâmetro C'C'' passa por C.
Tomamos para circunferência de inversão uma circunferência centrada em A e raio qualquer. Invertemos as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' e os pontos B₁; e C₁ inversos de B e C, são os pontos médios dos inversos de C'C'' e de B'B'' respetivamente ( notar que (B',B'';A,C)=-1 e que (C',C''; A, B)=-1). Ou seja, B₁ é o centro da a circunferência inversa da circunferência de diâmetro C'C'' e C₁ é centro da circunferência inversa da circunferência de diâmetro B'B''.
Porque a circunferência de diâmetro B'B'' passa por B, a sua inversa passa por B₁ e, do mesmo modo, a inversa da circunferência de diâmetro C'C'' passa por C₁. Cada uma destas circunferências passa pelo centro da outra, cortando-se em dois pontos, M₁ e M₂. Nas condições descritas, o triângulo M₁B₁C₁ é equilátero e as tangentes a estas duas circunferências são perpendiculares aos dois lados M₁B₁, raio da circunferência centrada em B₁, e a M₁C₁, raio da circunferência centrada em C₁, que, sendo lados de um triângulo equilátero fazem um ângulo de 60 graus. As tangentes uma a cada circunferência, perpendiculares a retas que formam ângulo de 60 graus, formam entre si um ângulo de 120 graus que preservado por inversão, é o ângulo que fazem as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' (inversas das circunferências (B₁) e (C₁)).

© geometrias, 3 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra

Mais uma aplicação da inversão

Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais. (usando a Inversão)

Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização.

Na construção partimos das circunferências (C_i), de centro C_i, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (C_i) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (C_i)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (C_i) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C₁)', (C₂)', (C_i)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (C_i).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (C_i)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (C_i) dadas.

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© geometrias, 2 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra

Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes

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Será que quaisquer duas circunferências que não se intersetam admitem uma cadeia de Steiner?.

Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.

Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência $(O)$ de um certo raio $R$ e determinamos os raios $r_n, r_n \lneq R$ das circunferências $(O, r_n)$ para cada uma $n=1, \ldots, 13$ das quais, as circunferências $(O, R)$ e $(O, r_n)$ admitem uma cadeia de Steiner com $n$ circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.

© geometrias, 29 outubro 2013, Criado com GeoGebra

No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.

Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência $(O, R)$ para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a $(O, R)$ e para centro da inversão a interseção $I$ das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que $(O, R)$, inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por $I$. A circunferência de inversão de centro $I$ passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a $(I, IT^2)$ seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por $I$.

Construção de cadeias de Steiner (em circunferências concêntricas)

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Dadas duas circunferências concêntricas $(O, OP)$ e $(O, OQ)$ com $OP > OQ$, determinar em que condições uma sequência de circunferências que são tangentes interiormente à primeira daquelas e exeriormente à segunda são também tangentes cada uma das que a seguem ou precedem.

© geometrias, 27 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir as etapas da construção Vejamos as condições da figura:

1. Chamemos $R$ a $OP$, $r$ a $OQ$ e $s$ a $AQ$. Para que a circunferência $(A)$ seja a tangente a $(O, R)$ e a $(O, r)$ é preciso que $R-r = 2s$. Para que $(B)$ seja tangente a $(A)$, a $(O, R)$ e $(O, r)$ será preciso que $AB=2s$ ou que $s=BM$ em que M é o ponto médio de $AB$. O mesmo se passará com $(F)$.
2. Essas condições permitem desenhar circunferências tangentes nas condições requeridas: $(C)$ tangente a $(B)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $(D)$ tangente a $(C)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $\ldots$.
   Mas nada garante que haja uma circunferência $(X)$ tangente à que a precede e que seja tangente a $(F)$ nas condições requeridas.
   Mas é óbvio que tal acontece se $AB=BC=\ldots =XF= FA$, isto é, se os centros das circunferências $(A)$, $(B)$, $\ldots$ $(X)$, $(F)$ forem vétrices de um polígono regular inscrito na circunferência de centro $O$ e raio $r+s = R-s$.
3. Para que isso aconteça, para que os termos da sequência se repitam ciclicamente (por exemplo de $n$ em $n$), precisamos que $$\angle AÔB = \displaystyle \frac{2\pi}{n}$$ em que $n$ seja o número de lados do polígono inscrito em $(O, r+s)$ e, por isso, $\angle AÔM = \displaystyle \frac{\pi}{n}$ e como $$ \frac{AM}{OA}= \frac{s}{r+s}=\frac{s}{R-s}= sin \frac{\pi}{n}$$ pode deduzir-se uma nova relação entre $R$ e $r$ que garanta que a sequência seja cíclica. Assim: $$ s=(r+s). sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}-1\right) =r$$ $$ s = (R-s).sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}+1\right) =R $$ e $$\frac{R}{r}= \frac{sin \frac{\pi}{n}+1}{sin \frac{\pi}{n}-1} $$

Se, para duas circunferências concêntricas $C_1$ e $(C_2)$, podemos sempre encontrar uma sequência de $n$ circunferências $(A_i)$ em que $(A_i)$ é tangente a $A_{i+1}$, $C_1$ e $(C_2)$, desde que se verifique a relação entre raios $2.a_i = c_1 - c_2$ ($c_1>c_2$); já para que nessa sequência, $(A_n)$ seja simultaneamente tangente a $A_{n-1}$ e a $A_1$ essa condição não é suficiente e é preciso reforçá-la com $$\frac{c_1}{c_2} = \frac{sin \frac{\pi}{n} +1}{sin \frac{\pi}{n} -1}$$ Às sequências que se repetem ciclicamente chamamos Cadeias de Steiner. Na próxima entrada, estudaremos a existência de cadeias de Steiner para circunferências excêntricas recorrendo ao resultado aqui abordado e à inversão.

Teorema de Feuerbach (enunciado e demonstração)

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Dados 3 pontos $A_1, A_2, A_3$ não colineares, há quatro circunferências tangentes às retas $A_1A_2$, $A_2A_3$ e $A_3A_1$: a de centro $I$ (incentro) a que chamamos inscrita e outras de exincentros $I_i$ a que chamamos exinscritas.

O enunciado do Teorema de Feuerbach é: A circunferência de nove pontos é tangente às quatro circunferências inscrita e exinscritas Com recurso à inversão, vamos demonstrar este resultado. A nossa construção parte do triângulo $A_1A_2A_3$, do qual construímos o circuncírculo e a circunferência de nove pontos (tal como fizemos na entrada anterior com notas sobre a circunferência de nove pontos).

Arsélio Martins, 22 outubro 2013, Criado com GeoGebra Com os botões de navegação ao fundo da janela de visualização, pode seguir os passos da construção, fixando cada parte que lhe interesse.

Demonstração.:

1. Debruçamo-nos sobre o triângulo $A_1A_2A_3$, a circunferência $(I)$ nele inscrita e a exinscrita $(I_1)$ (de centros $I$ e $I_1$ sobre a bissetriz interior $A_11 I$). Os resultados para as restantes $(I_2)$ e $(I_3)$ serão obtidos de modo análogo.
   • Tomemos as quatro tangentes a estas duas circunferências $(I)$ e $(I_1)$ que determinam duas homotetias de uma na outra: por um lado, a homotetia de centro $A_1$ definida pelas duas tangentes exteriores $A_1A_2$ e $A_1A_3$; por outro a homotetia de centro $K$ na interseção de $II_1$ com $A_2A_3$,já que esta última é tangente interior comum a $(I)$ e $(I_1)$.
   • $A_2A_3$ e $XX_1$ têm o mesmo ponto médio (ver a entrada em que esse resultado é abordado.
   • Do triângulo $A_1KA_3$ e do triângulo retângulo $IA_3 I_1$, considerando segmentos orientados, retiramos que $(A_1K;II_1) =-1$ (ver inversão de círculos de apolónio). Como $H_1, X, X_1$ são os pés das perpendiculares a $A_2A_3$, tiradas por $A_1, I, I_1$ e a projeção preserva a razão dupla, então $(H_1K; XX_1)=-1$, ou $$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{H_1X}{XK}}{\displaystyle\frac{H_1X_1}{X_1K}} =-1$$ Considerando comprimentos dos segmentos: $$\frac{H_1X}{XK}= \frac{H_1X_1}{X_1K}$$ e, como $H_1X=H_1M_1-M_1X, \; H_1X_1=H_1M_1+M_1X_1 , \;XK=XM_1-M_1K , \; X_1K=X_1M_1+M_1K$, podemos escrever $$\frac{H_1M_1-M_1X}{XM_1-M_1K}= \frac{H_1M_1+M_1X_1}{X_1M_1+M_1K}$$ equivalente a $$(H_1M_1-M_1X) \times (X_1M_1+M_1K)= (XM_1-M_1K)\times (H_1M_1+M_1X_1)$$ que desenvolvendo fica $$\;\;\;H_1M_1\times X_1M_1 +H_1M_1\times M_1K - XM_1\times X_1 M_1 - M_1X\times M_1K =$$ $$= XM_1\times H_1 +XM_1\times M_1X_1-M_1K\times H_1M_1 - M_1K\times M_1X_1$$ e, por ser $M_1 X=M_1X_1$, se simplifica em $$2H_1M_1 \times M_1K = 2MX^2$$ $$M_1K \times M_1H_1=M_1X^2=M_1X_1^2$$
2. Tomemos agora a circunferência de centro em $M_1$ e raio $M_1X_1$ para circunferência de inversão.
   • O resultado anterior é prova de que $H_1$ é o correspondente de $K$ pela inversão $I(M_1, M_1X^2)$
   • Os círculos $(I)$ e $(I_1)$ invertem-se em si mesmos já que são ortogonais à circunferência de inversão: $I_1X_1$, raio de $(I_1)$, é tangente a $(M_1)$ e perpendicular ao seu raio $M_1X_1$ que é tangente a $(I_1)$.
   • Como a circunferência dos nove pontos $(N)$ passa por $M_1$, centro da inversão, tem para inversa um reta $(N)'$ que passa por $K$ (inverso de $H_1$ que é ponto de $(N)$) e é paralela à tangente a $(N)$ no ponto $M_1$.
3. A inversa de $(N)$ contém uma corda comum a $(M_1)$ e a $(N)$, logo perpendicular a $M_1N$, paralela a $H_2H_3$.
4. $H_2$ é um ponto da circunferência de diâmetro $A_2A_3$ (centro em $M_1$) já que $A_2H_2 \perp H_2A_3$. $H_3$ pertence à mesma circunferência de diâmetro $A_2A_3$, já que $A_3H_3 \perp H_3A_2$.
   • Quer dizer que $H_2, H_3, A_2, A_3$ estão sobre uma circunferência (concícliicos), sendo por isso $\angle A_1A_2A_3+ \angle H_3H_2A_3 =180^o$ e $\angle A_1A_3A_2+ \angle A_2H_3H_2 = 180^o$, situação que se mantém para qualquer reta paralela a $H_2H_3$
   • Ora $(N)'$ é paralela à tangente a $N$ em $M_1$ e paralela a $H_2H_3$, tal como é a reta tangente a $(I)$ tirada por $K$. E por $K$ só passa uma paralela a $H_2H_3$.
   • A inversa de $(N)$, $(N)'$, é, pois, a tangente a $(I)$ e a $(I_1)$ tirada por $K$, ou seja, $EF$,
5. Como $EF$ é tangente a $(I)$ e $(I_1)$, inversas de si mesmas por $I(M_1, M_1X^2)$, e $(N)$, inversa de $EF$, também é tangente a $(I)$ e $(I_1)$ (cada uma inversa de si mesma). $\hspace{1cm} \square$