Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.
Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência (O) de um certo raio R e determinamos os raios r_n, r_n \lneq R das circunferências (O, r_n) para cada uma n=1, \ldots, 13 das quais, as circunferências (O, R) e (O, r_n) admitem uma cadeia de Steiner com n circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.
© geometrias, 29 outubro 2013, Criado com GeoGebra
No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.
Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência (O, R) para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a (O, R) e para centro da inversão a interseção I das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que (O, R), inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por I. A circunferência de inversão de centro I passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a (I, IT^2) seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por I.
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