Como sabemos, 5 pontos distintos A, B, C, D, E definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos A', B', C', D', E' (obtidos por uma inversão I(=O,1) ) inversos de A, B, C, D, E não definem a inversa da cónica definida por A, B, C, D, E.
Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar \;\fbox{ n }\; no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.
Movendo o cursor verde \;\fbox{ n }\; segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
\fbox{ n = 1}\;: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão - \;I(O,1) - de equação x^2+y^2=1 (em xOy)
\fbox{ n = 2}\;: Apresentam-se os pontos A, B, C, D, E
\fbox{ n = 3}\;: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
\fbox{ n = 4}\;: Apresentam-se os pontos A', B', C', D', E'
\fbox{ n = 5}\;: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos A', B', C', D', E' e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por A, B, C, D, E (para as posições dadas) já que a cónica A', B', C', D', E' não passa pelos pontos de interseção da cónica A, B, C, D, E com a circunferência de inversão (invariantes)
\fbox{ n = 6}\;: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica A, B, C, D, E (a passar pelos tais pontos invariantes)
Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos A, B, C, D, E obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de A, B, C, D, E (que pode mudar posição a posição de cada ponto)
Movendo o cursor verde \;\fbox{ n }\; segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
\fbox{ n = 1}\;: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão - \;I(O,1) - de equação x^2+y^2=1 (em xOy)
\fbox{ n = 2}\;: Apresentam-se os pontos A, B, C, D, E
\fbox{ n = 3}\;: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
\fbox{ n = 4}\;: Apresentam-se os pontos A', B', C', D', E'
\fbox{ n = 5}\;: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos A', B', C', D', E' e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por A, B, C, D, E (para as posições dadas) já que a cónica A', B', C', D', E' não passa pelos pontos de interseção da cónica A, B, C, D, E com a circunferência de inversão (invariantes)
\fbox{ n = 6}\;: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica A, B, C, D, E (a passar pelos tais pontos invariantes)
© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra
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