Dizemos que duas retas a e c são antiparalelas relativamente a duas b e d quando o quadrilátero formado pelas quatro retas a,b,c,d for cíclico (com os vértices a.b,b.c,c.d,d.a sobre uma circunferência)
Se A′ e B′ são inversos de A e B, então AB e A′B′ são antiparalelas relativamente a AA′ e BB′ (dito de outros modos, A,A′,B,B′ são vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência ou A,A′,B,B′ são concíclicos ou os ângulos opostos do quadrilátero de vértices A,A′,B,B′ são suplementares)
@ geometrias, 10 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Por definição de I(O,r2), se a A corrresponde A′ e a B corresponde B′, OA×OA′=OB×OB′=r2de onde decorreOB′OA=OA′OB.
Podemos assim, escrever que A′B′AB=OB′OA=OA′OB
Finalmente, como ∠OAB é suplementar de ∠BAA′, este é suplementar de ∠BB′A′ e também por ∠OBA é suplementar de ∠ABB′, este é suplementar de ∠AA′B′.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices A,A′,B,B′, em que os elementos de cada um dos pares (A,A′) e (B,B′) se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas AB e A′B′ são antiparalelas relativamente a AA′ e BB′. ◻
Por isso, os triângulos ΔOAB e ΔOA′B′ são semelhantes, (caso LAL), pois os pares de lados correspondentes (OB′,OA) e (OA′,OB) de um ângulo igual ∠AOB=∠B′OA′ são diretamente proporcionais.
Podemos assim, escrever que A′B′AB=OB′OA=OA′OB
e
∠OBA=∠OA′B′, opostos respetivamente de OA e de OB′;
∠OAB=∠OB′A′, opostos respetivamente de OB e de OA′.
Finalmente, como ∠OAB é suplementar de ∠BAA′, este é suplementar de ∠BB′A′ e também por ∠OBA é suplementar de ∠ABB′, este é suplementar de ∠AA′B′.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices A,A′,B,B′, em que os elementos de cada um dos pares (A,A′) e (B,B′) se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas AB e A′B′ são antiparalelas relativamente a AA′ e BB′. ◻
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