GEOMETRIA : Inversão. Circunferência a circunferência.

9.12.13

Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)

3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$

Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$

Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
$O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$

Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.