Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (1)

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1º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Para quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ há sempre uma homotetia que transforma uma na outra, ou seja, duas circunferências quaisquer são homotéticas.
2. Na entrada Conservação de ângulos por inversão (2) provámos que A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. resultado que já foi utilizado na resolução de muitos problemas. Estudamos agora o problema de construção mais simples que consiste em utilizar este resultado para determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas, sabendo que o seu centro será o centro de uma homotetia entre elas.
3. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências intersetam-se. E, por isso, a circunferência de inversão terá de passar pelos pontos de interseção das circunferências (inversos de si mesmos) e com centro no centro da homotetia.
4. Apresentam-se duas construções que ilustram a determinação das circunferências de inversão com centros nos centros das duas homotetias que transformam $(C_1)$ em $(C_2)$, sendo estas circunferências concorrentes e de raios diferentes. Claro que se tivessem raios iguais, o centro da homotetia de razão positiva $O_e$ que não pertence ao segmento $C_1 C_2$ seria um ponto do infinito da reta dos centros.

Para seguir os passos de cada construção, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eK^2)$

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iK^2)$