Dizemos que duas retas $\;a\;$ e $\;c\;$ são antiparalelas relativamente a duas $\;b\;$ e $\;d\;$ quando o quadrilátero formado pelas quatro retas $a,\; b,\; c,\; d\;$ for cíclico (com os vértices $\;a.b,\; b.c,\; c.d,\; d.a\;\;$ sobre uma circunferência)
Se $A'$ e $B'$ são inversos de $A$ e $B$, então $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$ (dito de outros modos, $A, A', B, B'$ são vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência ou $A, A', B, B'$ são concíclicos ou os ângulos opostos do quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$ são suplementares)
@ geometrias, 10 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Por definição de $I(O, r^2)$, se a $A$ corrresponde $A'$ e a $B$ corresponde $B'$, $$OA\times OA'=OB \times OB'=r^2 \;\; \mbox{de onde decorre}\;\; \frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB} \;.$$ Por isso, os triângulos $\Delta OAB$ e $\Delta OA'B'$ são semelhantes, (caso $LAL$), pois os pares de lados correspondentes $(OB', OA)$ e $(OA', OB)$ de um ângulo igual $\angle AOB = \angle B'OA'$ são diretamente proporcionais.
Podemos assim, escrever que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB}$$ e $\angle OBA = \angle OA'B'$, opostos respetivamente de $OA$ e de $OB'$; $\angle OAB = \angle OB'A'$, opostos respetivamente de $OB$ e de $OA'$.
Finalmente, como $ \angle OAB$ é suplementar de $\angle BAA'$, este é suplementar de $\angle BB'A'$ e também por $\angle OBA$ é suplementar de $\angle ABB'$, este é suplementar de $\angle AA'B'$.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$, em que os elementos de cada um dos pares $(A, A')$ e $(B, B')$ se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$. $\hspace{0.5 cm}\square$
Podemos assim, escrever que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB}$$ e $\angle OBA = \angle OA'B'$, opostos respetivamente de $OA$ e de $OB'$; $\angle OAB = \angle OB'A'$, opostos respetivamente de $OB$ e de $OA'$.
Finalmente, como $ \angle OAB$ é suplementar de $\angle BAA'$, este é suplementar de $\angle BB'A'$ e também por $\angle OBA$ é suplementar de $\angle ABB'$, este é suplementar de $\angle AA'B'$.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$, em que os elementos de cada um dos pares $(A, A')$ e $(B, B')$ se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$. $\hspace{0.5 cm}\square$
