Construção de cadeias de Steiner (em circunferências concêntricas)

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Dadas duas circunferências concêntricas $(O, OP)$ e $(O, OQ)$ com $OP > OQ$, determinar em que condições uma sequência de circunferências que são tangentes interiormente à primeira daquelas e exeriormente à segunda são também tangentes cada uma das que a seguem ou precedem.

© geometrias, 27 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir as etapas da construção Vejamos as condições da figura:

1. Chamemos $R$ a $OP$, $r$ a $OQ$ e $s$ a $AQ$. Para que a circunferência $(A)$ seja a tangente a $(O, R)$ e a $(O, r)$ é preciso que $R-r = 2s$. Para que $(B)$ seja tangente a $(A)$, a $(O, R)$ e $(O, r)$ será preciso que $AB=2s$ ou que $s=BM$ em que M é o ponto médio de $AB$. O mesmo se passará com $(F)$.
2. Essas condições permitem desenhar circunferências tangentes nas condições requeridas: $(C)$ tangente a $(B)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $(D)$ tangente a $(C)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $\ldots$.
   Mas nada garante que haja uma circunferência $(X)$ tangente à que a precede e que seja tangente a $(F)$ nas condições requeridas.
   Mas é óbvio que tal acontece se $AB=BC=\ldots =XF= FA$, isto é, se os centros das circunferências $(A)$, $(B)$, $\ldots$ $(X)$, $(F)$ forem vétrices de um polígono regular inscrito na circunferência de centro $O$ e raio $r+s = R-s$.
3. Para que isso aconteça, para que os termos da sequência se repitam ciclicamente (por exemplo de $n$ em $n$), precisamos que $$\angle AÔB = \displaystyle \frac{2\pi}{n}$$ em que $n$ seja o número de lados do polígono inscrito em $(O, r+s)$ e, por isso, $\angle AÔM = \displaystyle \frac{\pi}{n}$ e como $$\frac{AM}{OA}= \frac{s}{r+s}=\frac{s}{R-s}= sin \frac{\pi}{n}$$ pode deduzir-se uma nova relação entre $R$ e $r$ que garanta que a sequência seja cíclica. Assim: $$s=(r+s). sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}-1\right) =r$$ $$s = (R-s).sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}+1\right) =R$$ e $$\frac{R}{r}= \frac{sin \frac{\pi}{n}+1}{sin \frac{\pi}{n}-1}$$

Se, para duas circunferências concêntricas $C_1$ e $(C_2)$, podemos sempre encontrar uma sequência de $n$ circunferências $(A_i)$ em que $(A_i)$ é tangente a $A_{i+1}$, $C_1$ e $(C_2)$, desde que se verifique a relação entre raios $2.a_i = c_1 - c_2$ ($c_1>c_2$); já para que nessa sequência, $(A_n)$ seja simultaneamente tangente a $A_{n-1}$ e a $A_1$ essa condição não é suficiente e é preciso reforçá-la com $$\frac{c_1}{c_2} = \frac{sin \frac{\pi}{n} +1}{sin \frac{\pi}{n} -1}$$ Às sequências que se repetem ciclicamente chamamos Cadeias de Steiner. Na próxima entrada, estudaremos a existência de cadeias de Steiner para circunferências excêntricas recorrendo ao resultado aqui abordado e à inversão.