Razão cruzada de um feixe de 4 retas

A "razão cruzada" (ou razão de razões de diferenças) de quatro pontos incidentes numa mesma reta que temos vindo a estabelecer mantém-se por projetividade. É, por isso, muito importante em Geometria Projetiva e há autores que usam a "razão cruzada" para definir projetividade como a transformação geométrica pela qual a razão cruzada se mantém invariante. Não é o caso nas notas de estudo que temos vindo a publicar.

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Não vamos provar essa afirmação. Limitar-nos-emos a ilustrá-la e a pedir que a aceitem a partir das ilustrações que permitem conjeturar tal resultado.
Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo ponto.
A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma reta r. Poderá deslocar a reta r e veriifcar que a razão cruzada dos quadros pontos da secção (ou pontual) do feixe por r não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar esta razão invariante como caraterística do feixe.

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Na nossa construção a reta r é determinada por dois pontos livres E e F, que lhe permitem verificar que a razão cruzada não depende da reta r

[A.A.M.]