Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio $\;r \;$ e centro $\;P\;$ e uma reta $\;l\;$, sendo $\;d \;$ a distância de $\;P \;$ a $\;l \;$ tal que $\;d \;>\; r \;$.
Se tomarmos $\;M \;$ e $\;N \;$ sobre $\;r \;$ de tal modo que a circunferência de diâmetro $\;MN \;$ seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto $\;A \;$ do plano para o qual todos os segmentos $\;MN \;$ subentendem um ângulo $\;\angle MÂN \;$ constante.
Tiramos um ponto $\;O(0,\;0) \;$, uma reta $\;Ox =l\;$ e uma $\; Oy \;$ (perpendicular a $\; Ox \;$ tirada por $\; O \;$), um ponto $\;P(O,\;d) \;$ de $\; Oy \;$ para centro de uma circunferência de raio $\; r \;$ sendo $\; d > r \;$.
Tomamos por $\; P \;$ uma reta que intersecta $\; Ox \;$ num ponto $\; C(h, 0) \;$ que é centro da circunferência tangente à circunferência $\;(P,\;r) \;$, como na figura se ilustra.
@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro $\; C\;$ de uma circunferência tangente exterior à dada $\;(P,r) \;$ deve ter um raio $\; s \;$ tal que $\; PC =(r+s)\;$ é hipotenusa do triângulo $\;\Delta [OCP]\;$ rectângulo em $\; O \;$ e, pelo Teorema de Pitágoras, $$\; d^2 + h^2 = (r+s)^2$$
Aos extremos do diâmetro da circunferência $\;(C, s)\;$ cortada por $\;Ox\;$ na nossa construção, chamamos $\; M=(h-s, 0)\;$ e $\;\;N=(h+s,0)\;$.
Aceitemos que existe um ponto de $\;Oy, \;\;A(0,\;k), k>0\;$ que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos $\; \angle MAN \;$ se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por $\;O \;$ uma reta tangente à circunferência $\;(P,r),\;$ ficamos com um triângulo $\;\Delta[OTP]\;$, retângulo em $\;T\;$, para além do triângulo $\;\Delta[COP]\;$ rectângulo em $\;O\;$.
A circunferência $\;(O,\;T)\;$ corta $\;Oy\;$ num ponto que designamos por $\; A \;$ e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude $\; \angle MÂN \;$ em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas $\;P, \;C\;$ perpendiculares a tangentes da circunferência $\;(P,\;r)\;$....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência $\; (A,\; O)\;$ e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a $\;(P,\;r).\;$
Não dependem dos raios $\;s\;$ e deslocando o ponto $\; C\;$ podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de $\;(A,O).\;$ $\hspace{0.5 cm}\square$
