Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio r e centro P e uma reta l, sendo d a distância de P a l tal que d>r.
Se tomarmos M e N sobre r de tal modo que a circunferência de diâmetro MN seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto A do plano para o qual todos os segmentos MN subentendem um ângulo \;\angle MÂN \; constante.
Tiramos um ponto \;O(0,\;0) \;, uma reta \;Ox =l\; e uma \; Oy \; (perpendicular a \; Ox \; tirada por \; O \;), um ponto \;P(O,\;d) \; de \; Oy \; para centro de uma circunferência de raio \; r \; sendo \; d > r \;.
Tomamos por \; P \; uma reta que intersecta \; Ox \; num ponto \; C(h, 0) \; que é centro da circunferência tangente à circunferência \;(P,\;r) \;, como na figura se ilustra.
@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro \; C\; de uma circunferência tangente exterior à dada \;(P,r) \; deve ter um raio \; s \; tal que \; PC =(r+s)\; é hipotenusa do triângulo \;\Delta [OCP]\; rectângulo em \; O \; e, pelo Teorema de Pitágoras, \; d^2 + h^2 = (r+s)^2
Aos extremos do diâmetro da circunferência \;(C, s)\; cortada por \;Ox\; na nossa construção, chamamos \; M=(h-s, 0)\; e \;\;N=(h+s,0)\;.
Aceitemos que existe um ponto de \;Oy, \;\;A(0,\;k), k>0\; que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos \; \angle MAN \; se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por \;O \; uma reta tangente à circunferência \;(P,r),\; ficamos com um triângulo \;\Delta[OTP]\;, retângulo em \;T\;, para além do triângulo \;\Delta[COP]\; rectângulo em \;O\;.
A circunferência \;(O,\;T)\; corta \;Oy\; num ponto que designamos por \; A \; e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude \; \angle MÂN \; em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas \;P, \;C\; perpendiculares a tangentes da circunferência \;(P,\;r)\;....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência \; (A,\; O)\; e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a \;(P,\;r).\;
Não dependem dos raios \;s\; e deslocando o ponto \; C\; podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de \;(A,O).\; \hspace{0.5 cm}\square
