Demonstra-se que a área do triângulo $\;\Delta[BCD]\;$ é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos $\;\Delta [BCH]\;$ e $\;\Delta [BCA]\;$.
A ilustração dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura.
Construções com Geogebra
Notamos que:
a) $\;x\;$ é o meio proporcional de $\;a \;\mbox{e}\; b\;$ se e só se $\;\frac{ a}{x}\;=\; \frac{x}{b}\;$
b) Nas condições da figura, $\;BC\;$ é um lado dos três triângulos $\;\Delta[ABC],\; \Delta[CDB]\; e \; \Delta[BAC]\;$ ou seja é
base comum desses três triângulos.
E as alturas relativas a $\;BC\;$ dos três triângulos são segmentos da reta $\;HAH_aD.\;$ ....
Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964
