Construir um trapézio de que conhecemos as bases e as diagonais

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Problema:
Construir um trapézio de que se conhecem os comprimentos das bases AB (a=AB, c=CD) e das diagonais (e=AC, f=BD)

Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de $\;n\;$ no seletor na direita baixa da janela.

@geometrias, 10 março 2016, Criado com GeoGebra

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Tomado um ponto $\;A\;$ qualquer e uma reta a passar por $\;A\;$ para suporte de uma base $\;AB,\;$ basta construir o triângulo com um vértice em $\;A\;$ de lados de comprimento $\;a+c\;$ (sobre a reta $\;AB\;$), $\; e, \; f.\;$
$\;C\;$ é um vértice deste triângulo:
Chamemos $\;E\;$ ao vértice desse triângulo sobre a reta $\;AB\;$ e na circunferência $\;(A, a+c).\;\; C\;$ está em $\;(A, e).(E, f).\;$
O ponto $\;D\;$ é intersecção das paralelas a $\;AB\;$ tirada por $\;C\;$ e a $\;EC\;$ tirada por $\;B.\;$ □

Construir circunferências centradas nos vértices de um triângulo e tangentes duas a duas.

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Problema:
É dado um triângulo $\;ABC.\;$ Determinar as 3 circunferências $\;(A,\; r_A), \; (B,\: r_B), \; (C,\; r_C)\;$ tangentes exterioremnte duas a duas.

A figura dinâmica que se apresenta a seguir ilustra o raciocínio (de análise) que suporta a construção e a construção ela mesma.Faça variar o valor de $\;n\;$ no seletor ao fundo da janela de construção.
Começamos por construir o triângulo de vértices $\;A,\;B,\;C\;$ e de lados $\;a=BC, \;b= AC, \; c=AB\;$. Circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ que sejam tangentes exteriormente têm raios $\;r_A,\;r_B\;$ tais que $\; r_A + r_B = AB = c.\;$ Pelas mesmas razões terá de ser $\; r_A + r_C = AC = b\;$ e $\; r_B + r_C = BC = a.\;$ Por isso, $\; 2r_A + 2r_B + 2r_C =a+b+c.\;$
Tomando um segmento $\;B'B''\;$ de comprimento igual ao perímetro $\;a+b+c\;$ do triângulo e o ponto $\;M\;$ médio de $\;B'B''\;$, sabemos agora que $\;B'M= r_A + r_B + r_C\;$ e, como $\;r_B + r_C = a, \; \; C'M = B'M-a = r_A.$
Conhecido $\;r_A\;$, podemos traçar $\;(A, \; r_A).\;$ que intersecta $\;AB \;$ e $\;AC\;$ nos seus pontos de tangência com as outras duas circunferências □

© geometrias: 3 março 2016, Criado com GeoGebra

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159. Des sommets d'un triangle ABC comme centres, décrire trois circunféences tangentes deux à deux éxterieurement.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Secantes a uma circunferência passando por um ponto exterior e que determinam cordas de comprimento dado

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Problema:
São dados um ponto $\;P,\;Q\;$ um círculo $\;c\;$ e um comprimento $\;a\;$
Traçar por $\;P\;$ uma secante à circunferência $\;c\;$ que a corte em cordas de comprimento $\;a\;$

©geometrias. 16 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

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As cordas da circunferência $\;c\;$ com um dado comprimento $\;a\;$ são tangentes a uma circunferência concêntrica com $\;c\;$. Tomando um ponto $\;F\;$ qualquer sobre $\;c\;$ e $\;G \in c:\; FG=a,\;$ essa circunferência fica determinada pelo centro $\;O\;$ e pelo ponto $\;H\;$ médio de $\;FG.\;$ As tangentes a $\;(O, OH)\;$ tiradas por $\;P\;$ determinam cordas de $\;c: \;$ $\;LM,\;NQ;$ e $\;LM=NQ=a\;$

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149. On donne un cercle et un point P. Mener par P une sécante telle que la corde interceptée ait une longueur donné l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Numa circunferência inscrever um triângulo retângulo

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Problema:
São dados dois pontos $\;P,\;Q\;$ e uma circunferência $\;(O)\;$
Inscrever na circunferência $\;(O)\;$ um triângulo retângulo tal que a reta de um cateto passe $\;P\;$ e a reta do outro cateto passe por $\;Q.\;$

©geometrias. 14 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

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Se um dos lados de um ângulo reto tem de passar por $\;P\;$ e outro por $\;Q\;$ então o seu vértice será um ponto da circunferência de diâmetro $\;PQ.\;$ Como o ângulo reto tem vértice sobre a circunferência $\;(O)\;$ este é um dos pontos da interseção das duas circunferências citadas - a que chamamos $\;A\;$. Os restantes vértices serão $\;B\;$ na interseção de $\;(O)\;$ com $\;AP\;$ e $\;C\;$ na interseção de $\;(O)\;$ com $\;AQ.\;$
No caso da nossa figura, o problema tem duas soluções.

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148. Inscrire dans un cercle un triangle rectangle dont les cotês de l'angle droit ou leurs prolongements passent par deux points donnés P et Q
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Circunferência tangente a duas retas paralelas e que passa por um ponto da faixa entre elas

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Problema:
São dadas duas retas paralelas $\;a, \;b\;$ e um ponto $\;P\;$ da faixa entre elas.
Construir uma circunferência tangente às retas $\;a, \; b\;$ e a passar pelo ponto $\;P.\;$

©geometrias. 7 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na esquerda baixa da janela de visualização.

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Uma circunferência tangente a duas paralelas $\;a, \;b\;$ tem o seu centro numa terceira paralela $\;m\;$ equidistante das duas dadas e raio igual a $\;r\;$ - distância de $\;m\;$ a $\;a .\;$ Se passa por $\;P\;$, o centro da circunferência estará numa circunferência centrada em $\;P\;$ e raio $\;r.\;$ O problema tem duas soluções $\;(O), \;(O')$.
Nas condições do nosso problema há sempre duas soluções. Se $\;P\;$ fosse um ponto de uma das paralelas $\;a\;$ ou $\,b\;$ o problema teria uma só solução e se estivesse fora da faixa entre as paralelas, não haveria circunferência alguma tangente às duas paralelas.

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155. Étant donnés deus droîtes parallèles X, Y et un point A situé entre elles, décrire un cercle passant par ce point et tangente aux deux droîtes
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Circunferência tangente a outra e a uma reta num dado ponto.

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Problema:
É dada uma uma reta $\;t\;$ tangente em $\;T\;$ a uma circunferência $\;c\;$ dada. É ainda dado um outro ponto $\;A\;$ dessa tangente $\;t.\;$
Construir uma circunferência tangente à circunferência $\;c\;$ e à reta $\;t \;$ no ponto $\;A.\;$

©geometrias. 3 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na direita baixa da janela de visuaização.

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Na figura correspondente ao problema resolvido. tem-se uma circunferência $\;(O')\;$ em que $\;O'\;$ é o quarto vértice de um trapézio retângulo $\;[OTAO']\;$. Como $\;t\,$ é tangente comum à duas circunferências exteriormente: a $\;c =(O)\;$ em $\;T\;$ e em $\;A\;$. Como o os segmentos das tangentes a uma circunferência tiradas por um ponto são iguais, a tangente exterior a $\;c\;$ tirada pelo ponto $\;M\;$ médio de $\;AT\;$ resolve o problema já que permite determinar o ponto de tangência $\;I\;$ comum às duas circunferências. $\;TI\;$ é perpendicular a $\;OM\;$ e $\;OI\;$ interseta a perpendicular a $\;t\;$ em $\;A\;$ em $\;O'\;$, centro da circunferência que procuramos: $\;MT=MI=MA\;$ e $\; IO'=O'A .\;$

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154. On donne un cercle C, une tangente T à ce cercle au point A et sur cette droîte un point A'. Construire un cercle tangent au cercle C, et à la droîte T au point A'.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Circunferência tangente a três retas sendo duas delas paralelas

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Problema:
São dadas três retas $\;r,\;s,\;t\;$ sendo duas delas paralelas $\;r \parallel s\;$
Construir uma circunferência que seja tangente às três retas $\;r, \;s,\;t. \;$

©geometrias. 2 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

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Uma circunferência tangente a três retas $\;r, \;s, \;t\;$ tem centro $\;O\,$ equidistante das três $\;d(r,O)= d(s, O) = d(t,O)\;$. Por isso $\;O\;$ é ponto de interseção de bissetriz do ângulo $\;\angle (\widehat{r, \;t})\;$ com bissetriz do ângulo $\;\angle (\widehat{s, \;t}).\;$
O problema tem duas soluções $\; (O)\;$ e $\;(O').\;$

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153. On donne trois droîtes X, Y et Z dont les deux prémières sont parallèles. Construire les cerces tangents à ces trois droîtes.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (2)

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Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos à mesma distância de uma dada reta $\;r.\;$
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

©geometrias. 31 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

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Se $\;A,\;B\;$ estão à mesma distância de $\;r, \;$ $\;AB \parallel r.\;$ O centro da circunferência que passa por $\;A,\;B\;$ é um ponto da mediatriz de $\;AB \;$ que intersecta $\;r\;$ em $\;D.\;$ Como a mediatriz de $\;AB\;$ é perpendicular a $\;AB\;$ também é perpendicular à sua paralela $\;r.\;$ Por isso o ponto $\;D\;$ é o ponto de tangência da circunferência que passa por $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r.\;$ Assim o centro da circunferência que procuramos é o ponto comum a $\;CD\;$ e a mediatriz de $\;AD\;$ ou de $\;BD\;$

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151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (1)

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Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos sobre uma perpendicular a uma reta $\;r\;$ dada e num dos semi-planos determinados por ela.
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

©geometrias. 30 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

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Por serem dados dois pontos da circunferência que se procura, bastará determinar um terceiro ponto da circunferência ou o seu centro $\;F\;$ que é um ponto equidistante dos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ — $( FA = FB )$ — da mediatriz de $\;[AB].$ Para que a circunferência seja tangente a $\;r\;$ é preciso que o seu raio seja igual à distância de $\;F\;$ a $\;r,\;$ ou, o que é o mesmo, que seja igual à distância de $\;r\;$ à mediatriz de $\;[AB]\;$. Esta distância é $\;CD\;$ em que $\;C\;$ é $\;AB.r\;$ e $\;D\;$ é o ponto médio de $\;[AB]\;$. O centro da circunferência é determinado como $\; (A, CD). (B, CD),\;$ por exemplo. Há dois pontos $\;E, \;F\;$ que verificam essas condições. As soluções do problemas serão $\;(E, EA)\;$ e $\;(F, FB) \;$, simétricas relativamente ao espelho $\;AB.\;$

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151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947

Problema que precisa da invariância de ângulos por inversão para ser resolvido.

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Construir uma circunferência que passe por dois pontos $\;A, \; B\;$ dados e corte uma reta - $\;r\;$ - dada segundo um dado ângulo $\; \alpha .$

O ângulo de uma reta $\;r\;$ com uma circunferência que a corte num ponto $\;P\;$ é um ângulo de vértice $P$ cujos lados são $r$ e a tangente à circunferência em $\;P.\;$ Há uma infinidade de circunferências que passsam por $\;A\;$ e $\;B\;$. Precisamos de determinar alguma dessas que cortem $\;r\;$ segundo o ângulo $\;\alpha \;$.

© 20 dezembro 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar $\;r, \;A, \;B\;$ com consequências que vão até poder ver em que condições há uma ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar.

$\;\fbox{n=1}\;\;\;\;$ A inversão relativa à circunferência de centro $\;A\;$ e raio $\;AB\;$
$\;\fbox{n=2}\;\;\;\;$ transforma a reta $\;r\;$ numa circunferência $\;r'\;$
$\;\fbox{n=3}\;\;\;\;$ que passa por $\;A,\;$ centro da inversão aplicada a $\;r\;$.
Como a inversão preserva os ângulos, o problema reduz-se a determinar uma recta que passe por $\;B\;$ e faça um ângulo $\;\alpha\;$ com a circunferência $\,r'\;$.
As retas que fazem ângulos $\;\alpha\;$ determinam-se facilmente: Toma-se um ponto $\;I\;$ genérico de $\;r'\;$ e a sua tangente nesse ponto
$\;\fbox{n=4}\;\;\;\;;$ A reta que faz um ângulo $\; \alpha \;$ com cada tangente é uma das retas que procuramos e que no seu conjunto determinam (envolvem) uma circunferência concêntrica com $\;r'\;$
$\;\fbox{n=5}\;\;\;\;$ lugar geométrico dos pontos médios das cordas determinadas pelas retas que que fazem ângulos $\; \alpha\;$ com as tangentes em qualquer dos seus extremos.
De entre todas essas retas, interessam-nos aquelas que passam por $\;B\;$ que são duas delas: as tangentes $\;t_1, \; t_2\;$ à circunferência de centro $\;O \;$ e raio $\;OM\;$ tiradas por $\;B\;$
$\;\fbox{n=6}\;\;\;\;$ Se aplicarmos a estas retas $\;t_1, \; t_2\;$ a inversão de centro $\;A\;$ e raio $\;AB\;$ as suas transformadas são, respetivamente, as circunferências $ \;c_1, \; c_2\;$ que passam por $\;A\;$, centro da inversão, e também por $\;B\;$ por este ser um ponto da circunferência de inversão (invariante por essa inversão)
$\;\fbox{n=7}\;\;\;\;\;$ A figura final
$\;\fbox{n=8}\;\;\;\;$ só serve para mostrar os dados e as soluções do problema sem mais.

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^* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
200. Construire un cercle passant par deux points donnés et coupant une droite donnée sous un angle donné $\;\alpha$.

Resolver problema de construção usando análise e síntese (8)

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Problema:     Construir um paralelogramo sendo dados os comprimentos de um lado e das duas diagonais.

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um paralelogramo $\;[ABCD]\;$ sendo $\;AB=a,\; AC=d_1, \; BC=d_2.\;$ Sabemos que as diagonais de um paralelogramo se bissetam num ponto, chamemos-lhe $\;M.\;$
$\;[ABM]\;$ é um triângulo de lados $\;AB=a, \; \displaystyle AM=\frac{d_1}{2}, \;BM=\frac{d_2}{2}\;$ e o paralelogramo é composto de 2 pares de triângulos iguais.
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 8 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, diz-nos que, nas condições do problema, podemos construir um triângulo usando os comprimentos dados e que, a partir dele, podemos construir o paralelogramo que procuramos.
2. Comecemos por tomar para $\;A\;$ um ponto qualquer do plano e para ponto $\;B\;$ um ponto qualquer da circunferência $\;(A,\;a), \;$ à distância $\;a\;$ de $\;A\;$.
3. As diagonais do paralelogramo bissetam-se num ponto $\;M,\;$ escolhemos um dos pontos da interseção $\;\left(A,\;\displaystyle \frac{d_1}{2}\right). \left(B, \displaystyle\frac{d_2}{2}\right).\;$
4. A construção do triângulo $\;[ABM]\;$ é decisiva para a resolução do problema, ou mais simplesmente, fundamental é determinar o ponto $\;M.\;$
5. $C, \;D\;$ determinam-se assim: $\left(M,\;MA\right). MA =\{A,\; C\}$
   $\left(B, \;BM\right).BM=\{B, \;D\}.\;$ $\;D\;$ pode ser obtido como interseção das retas: paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;C\;$ e paralela a $\;BC\;$ tirada por $\;A$.
6. $\;[ABCD]\;$ é o paralelogramo que procuramos.     □

Para que o nosso problema tenha soluções é necessário e suficiente que se possa construir o triângulo $\;[ABM]\;$ ou que $$ AB < BM+MA \;\;\; \wedge \;\;\; BM < MA+ AB \;\;\; \wedge \;\;\; MA< BM+AB $$ $$a<\frac{d_1+d_2}{2} \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{d_1}{2} < a+ \frac{d_2}{2} \;\;\;\wedge \;\;\;\frac{d_2}{2}< a+\frac{d_1}{2}\;$$ que é o mesmo que $$a<\frac{1}{2}(d_1+d_2) \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{1}{2}(d_1-d_2) < a \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{1}{2} (d_2-d_1) < a $$ ou $$ \frac{1}{2}\left| \;d_1-d_2\; \right| \; < \;a\; < \;\frac{1}{2}(d_1+d_2) $$.