Resolver problema de construção, usando análise e síntese (4)

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Problema:     Construir um triângulo isósceles de que se conhecem o circulo circunscrito e a soma da base com a altura correspondente.

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.

1. Suponhamos o problema resolvido: Teremos um triângulo isósceles $\;[ABC]\; (AB=AC),\;$ inscrito no círculo circunscrito $\;(O)\;$ dado e tal que a altura $\;AD=h\;$ e a base $\;BC=a\;$ têm soma dada $\;s=a+h.\;$
   • Num triângulo isósceles a altura $\;AD\;$ bisseta a base $\;BC,\;$ por isso passa pelo circuncentro $\;O\;$. Podemos escrever $\;AD+2BD=s.\;$ Quando prolongamos $\;AD\;$ até $\;E\;$ tal que $\;DE=BC,\;$ temos $\;AE=s\;$ e $\;2BD=DE,\;$ donde $\;\displaystyle \frac{BD}{BE} =\frac{1}{2}.$
   • Se prolongarmos $\;EB\;$ até encontrar no ponto $\;F\;$ a tangente a $\;(O)\;$ tirada por $\;A\;$, temos um novo triângulo $\;[EAF]\;$, retângulo em $\;A\;$, que é obviamente semelhante ao triângulo $\;[EDB]: \;\;\; \displaystyle \frac{AF}{AE}=\frac{DB}{DE} = \frac{1}{2};\;\;$ $\;\;AE=s\;$ e $\;\displaystyle AF=\frac{s}{2}.\;$

A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 28 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. É dado um segmento de comprimento $\;s=a+h\;$ e uma circunferência de centro $\;O\;$ circunscrita do triângulo procurado.
2. Assim, começamos por tomar para vértice $\;A\;$ um ponto qualquer da circunferência dada e traçamos o diâmetro que passa por $\;A\;$ e contém a altura $\;h\;$ relativa a $\;a.\;$.
3. De acordo com o sugerido na análise feita, interessa determinar o ponto $\;E\;$, desse diâmetro tal que $\;AE=a+h\;$: $\;AO.(A,s).\;$
4. E, em seguida, determinamos o ponto $\;F\;$ da tangente a $\;(O)\;$ tirada por $\;A\;$ e à distância $\;\displaystyle \frac{s}{2}\;$ de $\;A.\;$
5. A reta $\;EF\;$ interseta a circunscrita $\;(O\;)\;$, para os dados da nosso problema, por exemplo, $\;B\;$. A perpendicular a $\;AE\;$ (ou paralela a $\;AF\;$) interseta $\;(O)\;$ num ponto $\;C\;$, para além de $\;B\;$ e $\;AE\;$ em $\;D\;$. O triângulo $\;[ABC]\;$ de altura $\;AD\;$ é uma das soluções do problema: Como, por construção, $\;O \in AE,\;$ e $\;AE\perp BC, \;$ então $\;AD=DB\;$. Assim fica provado que $\;[ABC]\;$ está inscrito em $\;(O)\;$ e é isósceles. □
6. Outra solução, será o triângulo $\;[AB_1C_1]\;$ de altura $\;AD_1\;$ e base $\;B_1C_1\;$

Para cada $\;A\;$ de $\;(O)\;$ haverá duas soluções, para os dados que se mostram inicialmente. Fazendo variar o comprimento do segmento $\;s\;$ pode ver em que condições há 0, 1 ou 2 soluções para o problema