das relações entre três circunferências tangentes entre si e tangentes a uma recta

Numa entrada de 29.8.14, Posições de 3 circunferências tangentes entre si e tangentes a uma reta dada apresentámos a resolução do Problema:
Dada uma reta a, construir três circunferências tangentes à reta dada e tangentes duas a duas de que se conhecem os raios r₁   e   r₂ de duas delas,
Recentemente, ao folhear o livro - A.C. Morgado, E.Wagner e M. Jorge; Geometria II . FC&Z Livros. Rio de Janeiro:2002 - dei com vários problemas que podem ser considerados casos particulares do problema referido acima. Coloco aqui o Problema 140 da página 99 do livro Geometria II, assim enunciado: Dois círculos de raio 4 e 1 são tangentes exteriormente, como mostra a figura. Calcule o raio do círculo tangente a estes círculos e a tangente comum externa.
A) 1/2,      B) 1/3      C) 3/5      D) 4/9      E) NRA.

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Outros casos apresentados nesse livro:

122. São dados dois círculos tangentes exteriormente de mesmo raio R. Calcule o raio do círculo tangente aos dois primeiros e à tangente comum externas.
A) R/2,      B) R/3, ,      C) R/4,     D) R/5,      E) NRA.

129. Dois círculos de raios R e 4R são tangentes exteriormente e tangentes a uma reta nos pontos A e B. Então, AB vale:

A) 2R,      B) 7R/2, ,      C) 10R/3,     D) 4R,      E)5R.

ilustração: há perpendiculares a uma reta que não são perpendiculares a plano que a contém

Circunferência tangente a duas retas paralelas e que passa por um ponto da faixa entre elas

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Problema:
São dadas duas retas paralelas $\;a, \;b\;$ e um ponto $\;P\;$ da faixa entre elas.
Construir uma circunferência tangente às retas $\;a, \; b\;$ e a passar pelo ponto $\;P.\;$

©geometrias. 7 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na esquerda baixa da janela de visualização.

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Uma circunferência tangente a duas paralelas $\;a, \;b\;$ tem o seu centro numa terceira paralela $\;m\;$ equidistante das duas dadas e raio igual a $\;r\;$ - distância de $\;m\;$ a $\;a .\;$ Se passa por $\;P\;$, o centro da circunferência estará numa circunferência centrada em $\;P\;$ e raio $\;r.\;$ O problema tem duas soluções $\;(O), \;(O')$.
Nas condições do nosso problema há sempre duas soluções. Se $\;P\;$ fosse um ponto de uma das paralelas $\;a\;$ ou $\,b\;$ o problema teria uma só solução e se estivesse fora da faixa entre as paralelas, não haveria circunferência alguma tangente às duas paralelas.

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155. Étant donnés deus droîtes parallèles X, Y et un point A situé entre elles, décrire un cercle passant par ce point et tangente aux deux droîtes
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947