3.7.14

Resolver um problema de construção, usando análise e síntese (6)


Problema:
Construir um quadrilátero convexo de que conhecem os comprimentos dos quatro lados e a amplitude do ângulo formado por dois lados não consecutivos.
Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um trapézio $\;[ABCD]\;$ de lados $\;AB=a, \;BC=b, \; CD=c,\;DA=d, \;$ e sendo $\;\alpha\;$ o ângulo formado pelas duas retas $\;AB\;$ e $\;CD\;$. Uma paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ fará com $\;DC \;$ um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$. Se tomarmos $\;E\;$ para o lado de $\;B\;$ sobre essa paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ de tal modo que $\;DE=AB\;$, $\;[ADEB]\;$ é um paralelogramo
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 3 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra



  1. A análise feita, sugere-nos que o quadrilátero $\;[ABCD]\;$ requerido se pode reconstruir a partir de um triângulo $\;[CDE]\;$ sendo $\;C\hat{D}E = \alpha, \; CD=c,\; DE=a.\;$
  2. Começamos por tomar um ponto $\;C\;$ qualquer no plano.
    E tomamos para $\;D\;$ um ponto qualquer da circunferência de raio $\;c\;$ e centro em $\;C\;$
  3. Tomamos $\;DC\;$ para lado de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$, e construímos outro lado a partir de $\;D\;$. Marcamos $\;E\;$ sobre esse segundo lado à distância $\;a\;$ de $\;D\;$
  4. $\;B\;$ estará na interseção das circunferências $\; (C, \;b)\;$ e $\;(E,\;d)\;$
  5. A paralela a $\;DE\;$ tirada por $\;B\;$ interseta a paralela a $\;BE\;$ tirada por $\;D\;$ no ponto $\;A\;$
  6. O quadrilátero $\;[ABCD]\;$ assim obtido satisfaz as condições requeridas no enunciado do problema. □
Variando os comprimentos dos lados, constatará que o problema nem sempre tem solução.
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