Problema:
Construir um quadrilátero convexo de que conhecem os comprimentos dos quatro lados e a amplitude do ângulo formado por dois lados não consecutivos.
Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947
Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um trapézio \;[ABCD]\; de lados \;AB=a, \;BC=b, \; CD=c,\;DA=d, \; e sendo \;\alpha\; o ângulo formado pelas duas retas \;AB\; e \;CD\;. Uma paralela a \;AB\; tirada por \;D\; fará com \;DC \; um ângulo de amplitude \;\alpha\;. Se tomarmos \;E\; para o lado de \;B\; sobre essa paralela a \;AB\; tirada por \;D\; de tal modo que \;DE=AB\;, \;[ADEB]\; é um paralelogramo
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de \;n\; no cursor \;\fbox{n=1,..., 6}.\;
© geometrias, 3 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra
- A análise feita, sugere-nos que o quadrilátero \;[ABCD]\; requerido se pode reconstruir a partir de um triângulo \;[CDE]\; sendo \;C\hat{D}E = \alpha, \; CD=c,\; DE=a.\;
-
Começamos por tomar um ponto \;C\; qualquer no plano.
E tomamos para \;D\; um ponto qualquer da circunferência de raio \;c\; e centro em \;C\; - Tomamos \;DC\; para lado de um ângulo de amplitude \;\alpha\;, e construímos outro lado a partir de \;D\;. Marcamos \;E\; sobre esse segundo lado à distância \;a\; de \;D\;
- \;B\; estará na interseção das circunferências \; (C, \;b)\; e \;(E,\;d)\;
- A paralela a \;DE\; tirada por \;B\; interseta a paralela a \;BE\; tirada por \;D\; no ponto \;A\;
- O quadrilátero \;[ABCD]\; assim obtido satisfaz as condições requeridas no enunciado do problema. □
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