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14.2.16

Numa circunferência inscrever um triângulo retângulo

Problema:
São dados dois pontos \;P,\;Q\; e uma circunferência \;(O)\;
Inscrever na circunferência \;(O)\; um triângulo retângulo tal que a reta de um cateto passe \;P\; e a reta do outro cateto passe por \;Q.\;

©geometrias. 14 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.


Se um dos lados de um ângulo reto tem de passar por \;P\; e outro por \;Q\; então o seu vértice será um ponto da circunferência de diâmetro \;PQ.\; Como o ângulo reto tem vértice sobre a circunferência \;(O)\; este é um dos pontos da interseção das duas circunferências citadas - a que chamamos \;A\;. Os restantes vértices serão \;B\; na interseção de \;(O)\; com \;AP\; e \;C\; na interseção de \;(O)\; com \;AQ.\;
No caso da nossa figura, o problema tem duas soluções.
148. Inscrire dans un cercle un triangle rectangle dont les cotês de l'angle droit ou leurs prolongements passent par deux points donnés P et Q
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947
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30.10.14

Triângulos retângulos: altura e inraios

Problema: Um triângulo \;[ABC]\; retângulo em \;C\; está dividido em dois triângulos \;[CAH]\; e \;[BCH]\; pela sua altura \;CH\; relativamente à hispotenusa \;AB.\;
Provar que a altura \;h=CH\; é igual à soma dos raios\;i,\;j,\;k\; dos incírculos \;(I, i), \;(J, j), \; (K, k)\; de \;[ABC],\; [CAH], \; [BCKH]\; respetivamente.



© geometrias, 29 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra


Na entrada de 13.9.14 Círculo "misto" de um triângulo retãngulo mostrámos que o raio \;i\; do incírculo de um triângulo \;[ABC]\; retângulo em \;C\;, é dado por \;i= \displaystyle \frac{a+b-c}{2}.\;
Como \;[CAH]\; e \;[BCH]\; são retângulos em \;H\; \;j =\displaystyle \frac{AH+HC-CA}{2}=\frac{AH+h-b}{2}\; e \;k =\displaystyle \frac{CH+HB-BC}{2} =\frac{h+HB-a}{2}\;
Somando os raios das três circunferências inscritas da figura, temos \;i+j+k = \displaystyle \frac{a+b-c}{2} + \frac{AH+h-b}{2} + \frac{h+HB-a}{2}= \frac{a+b-c +AH+h-b+h+HB-a}{2}
Como \;AH+HB= c,\; conclui-se que
\;i+j+k = h \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; □
J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)
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6.10.14

Raios das circunferências inscritas e altura em triângulos retângulos

Problema: Dividimos o triângulo \;ABC\; retângulo em \;C\; pela altura \;CD\; relativa à hipotenusa \;AB.\; Provar que a soma dos raios \;r_1, \;r_2, \;r_3\; respetivamente das circunferências inscritas em \;ABC, \; BCD, \; CAD\; é \;CD\;

Na entrada de 13 de Setembro p.p., círculo "misto" de um triângulo retângulo no seu ponto 5. tínhamos demonstrado que o raio \;r\; da circunferência inscrita num triângulo \;ABC\; retângulo em \;C\; é dado pelo seu semiperímetro subtraído da hipotenusa r= \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2} em que \;a=BC, \;b=AC, \;c=AB.\; Ou: o comprimento do diâmetro do incírculo de um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos subtraída da hipotenusa 2r= a+b-c

© geometrias, 6 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra

Clicando nos botões \fbox{1, 2, 3, 4}\;, na esquerda ao fundo, poderá ver (ou ocultar) a altura, os diversos (in)círculos e respetivos (in)raios.

\fbox{x} 1. inscrita em ABC:     No caso da nossa circunferência \;(O_1,\; r_1)\; inscrita em \;ABC\; de catetos \;a=BC, b=AC\; e hipotenusa \;c=AB\;, temos 2r_1=a+b-c \fbox{x} 2. altura hC:     Chamámos D ao pé da altura relativa a \;c.\; Na nossa figura, \;h_C= h=CD . Como \;CD \perp AB,\; CD\; divide o triângulo ABC em dois triângulos, ambos retângulos em \;D:\;
  • \;BCD\; de catetos \;BD, \;DC\; e hipotenusa \;a=BC\;
  • \;CAD\; de catetos \;AD, \;DC\; e hipotenusa \;b=AC\;
\fbox{x} 3. inscrita em BCD:     Da circunferência \;(O_2, \;r_2)\; inscrita em \;BCD\; 2r_2 =BD+DC-a \fbox{x} 4. inscrita em ACD:     Da circunferência \;(O_3, \;r_3)\; inscrita em \;ACD\; 2r_3 =AD+DC-b
Finalmente, podemos concluir 2(r_1+r_2+r_3) = a+b-c + BD+DC-a +AD+DC-b=\underbrace{\underbrace{-c}+\underbrace{BD+DA}}+ 2DC= 2DC ou r_1+r_2+r_3 =h_C \;\;\;\; \;\; \square
a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University. (sugestões de António Aurélio Fernandes)
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13.9.14

Círculo "misto" de um triângulo retângulo

circuncírculo, incirculo e círculo misto de um triângulo retângulo
Problema: Tomados 3 pontos que definem um triângulo [ABC] retângulo em C e um círculo (circuncírculo do triângulo), construa-se o círculo tangente interiormente aos dois catetos e ao circuncírculo.

Clicando nos botões de "mostra/esconde" à esquerda, poderá ver os diversos círculos, segmentos e pontos que podem ajudar a perceber a construção e as relações que se estabelecem.
  1. Dados A, B, C, a=BC, b=CA, c=AB tais que BC ⊥ CA e, em consequência,
    a2+b2 = c2
  2. Clicando no botão "circuncírculo", aparece um círculo de centro O que passa pelos pontos A, B, C de raio R = OA = OB = OC. No triângulo retângulo O é o ponto médio da hipotenusa [AB] e, por isso, de comprimento c / 2. Como sabemos,
    (c / 2)2 = OA2 = OB2 = OC2 = ON2 + OM2 = (a / 2) 2 + (b / 2)2

    © geometrias, 12 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra


  3. Clicando no botão "mista/solução" ficamos com a figura correspondente ao problema já resolvido. Temos o círculo (O, R)= (O, c / 2) e o círculo (O1, r1) tangente a BC, CA, (O, R). Analisar o problema de construção resolvido, esclarece como o resolvemos de facto.
    • Como (O_1, r1) é tangente interiormente a (O, R) = (O, c/2 ),
      OP=R=c / 2 = OO1+ r1 e, em consequência, OO1 = c / 2 - r1
    • O triângulo OO1Z é retângulo em Z, e OO1 2 = O1Z2 + ZO2.
      Ora O1Z = O1V-ON = r1-a / 2 e OZ = OM - MZ = b / 2 - r1
    • Finalmente,
      ( c / 2 - r1)2 =( r1 - a /2)2 + (b / 2 - r1)2
      ( c / 2)2 +(r1 )2 - c.r1 = ( r1)2+ (a / 2)2 -r1.a + ( b / 2)2 +( r1)2 -b.r1
      c2+4.r1 2 -4cr1 = 4r12+a2-4ar1 +b^2+4r12 -4br1
      E, como c2 = a2 + b2, podemos simplificar, obtendo
      -4cr1 =-4ar1-4br1+4r1^2 ou finalmente r1= a+b-c.
    Esta análise feita sobre a figura do problema resolvido permite-nos construir a circunferência mista/solução. Como esta circunferência é tangente a CA e a BC,, o seu centro O1 está à distância r1= a+b-c de cada um dos catetos, é a interseção da perpendicular a CA tirada por um ponto V tal que VC =a+b-c com a perpendicular a BC tirada pelo ponto W tal que WC=a+b-c.
  4. Clique agora no botão "incirculo", para ver o círculo tangente interiormente aos três lados do triângulo. Pode esconder as construções anteriores clicando no botão da direita alta para reiniciar ou usando os botões ocultar "circuncírculo" e "mista/ solução" caso estejam vísiveis. Como sabemos o centro do incírculo é equidistante dos três lados do triângulo, ou seja é o ponto de interseção das três bissetrizes.
  5. Calculemos, em função de a, b, c dados, o comprimento do inraio r = IJ=IK=IL:
    • AC pode ser visto como a tangente a (I, r) tirada pelo ponto A ou tirada por C. Do mesmo modo, AB é tangente ao incírculo tirada por A ou por B. E BC é tangente ao incírculo tirada por B ou por C
      Como os segmentos das duas tangentes tiradas por um ponto são iguais, temos AJ=AL, BK=BL, CJ=CK.
      Por outro lado, temos AL+LB =AB=c, BK+KC=BC=a, CJ+JA=CA=b e AL+LB +BK+KC+CJ+JA= a+b+c. Mais simplesmente 2BK+2CJ+2AL = a+b+c . Designando por 2p o perímetro a+b+c do triângulo, BK+CJ+AL=p, sendo p o semiperímetro do triângulo. E, como CJ+AL = b, BK = BL= p-b. Do mesmo modo, como BK+CJ=BC=a, AL= AJ =p-a. E como BK+AL= BL+AL= c,\ CJ=CK= p-c.
    • Claro que, neste caso do triângulo retângulo em C,
      r= CJ=CK = p-c = (a+b+c)2 - c = (a+b-c)2
  6. Vimos assim que, para qualquer triângulo retângulo, se verifica a seguinte relação: o raio - r1 - da circunferência tangente aos dois catetos e ao circuncírculo do triângulo é o dobro do raio - r - do incírculo, circunferência tangente aos 3 lados do triângulo
Problema de construção, a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University.
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