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28.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (15)

Problema: De um quadrilátero \;ABCD\;, inscritível numa circunferência, conhecemos um vértice \;A, a amplitude do ângulo \;\angle Â\; e os comprimentos de um dos lados adjacentes ao ângulo \;AB\; e das diagonais \;AC, \;BD.    Determinar os restantes vértices \;B, \;C, \;D\; desse quadrilátero.

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto
  1. Dados (a azul): um ângulo \;\alpha\; de amplitude igual à do ângulo \; \angle BÂD\; um segmento \;A_0B_0\; de comprimento igual ao lado \;AB\;; um segmento \;A_0C_0\; de comprimento igual à diagonal \;AC\;; um segmento \;B_0D_0\; de comprimento igual à diagonal \;BD\;
  2. O vértice \;B\; é um dos pontos que está à distância \;A_0B_0\; do vértice \;A\; (1º lugar geométrico da lista). Tomemos um ponto sobre a circunferência \;(A, \;A_0B_0)\; e designemo-lo por \;B\;.

    © geometrias, 28 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

  3. Os pontos \;B, \;A\; definem a reta \;AB\; e podemos construir o ângulo de vértice \;A\; e lados \;AB, \;AD\;
    O ponto \;D\; está no segundo lado do ângulo \;\angle \alpha\; e à distância \;B_0D_0\; de \;B\;, ou seja, na interseção da circunferência \;(B, \;B_0D_0)\; com o segundo lado do ângulo \;\angle BÂD\;
  4. Há um só ponto equidistante dos pontos \;A, \;B, \;D\; (interseção das mediatrizes dos segmentos \;AB\; e \;BD\; - 3º lugar geométrico da lista) e por isso há uma única circunferência a passar por \;A, \;B, \;D\; - 1º lugar geométrico da lista dos pontos equidistantes a um dado ponto.
    Assim, sendo inscritível o quadrilátero terá os seus quatro vértices sobre a circunferência determinada por \;A, \;B, \;D\;, a castanho na figura.
    \;C\; está à distância \;A_0C_0\; de \;A\;, ou seja na circunferência \;(A, \;A_0C_0)\; (1º lugar geométrico da lista)
    No caso da nossa figura, \;C\; é um dos dois pontos de interseção das circunferências \;(A, \;B, \;D)\; e \;(A, \;A_0C_0)\;

Podemos variar a amplitude \;\alpha\; e os comprimentos \;A_0B_0\; \;A_0C_0\; e \;B_0D_0\;
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27.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)

Problema: Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.

  1. Dados (a azul): uma reta \;a\;, um segmento \;d\;, uma circunferência de centro \;O\; e raio \;r\;

    Resolver este problema resume-se a determinar um ponto \;P\; da reta \;a\; de que se tire uma tangente \;t\; a \;(O, r)\; sendo \;PT = d\;, em que T é o seu ponto de tangência.
  2. Um ponto \;P\; de \;a\; que satisfaz as condições requeridas é vértice de um triângulo \;PTO\; retângulo em \;T\; em que os catetos são \;PT=d\; e \;TO = r\; conhecidos e a hipotenusa é \;OP\;
    Para determinar \;OP =h\; basta tomar o triângulo retângulo de catetos \;r, \; d\;.

    © geometrias, 27 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

  3. E o ponto \;P\;, se existir fica determinado pela interseção de \;a\; com a circunferência \;(O, h)\;, No caso da nossa figura ficam determinados dois pontos \;P.\;Q\; : \;PO = QO = h, sendo \;h^2=r^2+d^2\;
  4. Os pontos \;T\; de tangência encontarm-se na interseção de \;(O, r)\; com a circunferência de diâmetro \;OP=h\; (caso particular do 5º ou do 9º lugar geométrico da lista). Na nossa figura, para o ponto \;P\; há duas tangentes \;t_1\; e \;t_2\;, para as quais \;PT_1 = PT_2 = d\;, como queríamos.
  5. Outras soluções, no nosso caso, são as tangentes a \;(O, \;r)\; tiradas por \;Q\;

Podemos variar os comprimentos \;d\; \;r\; e as posições relativas das circunferência e reta dados. Verificamos que a existência de soluções depende da relação entre o comprimento de \;d\; e as posições relativas de \;a\; e \;(O,r)\;
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21.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)

Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.

  1. Dados (a azul): uma reta \;a\; e um seu ponto \;P\;, uma circunferência de centro \;C\;

    Para resolver este problema, basta determinar um ponto \;O\; para centro da circunferência nas condições definidas.
  2. Para ser tangente a \;a\; no ponto \;P\;, o centro O da circunferência requerida na perpendicular a \;a\; tirada por \;P\; - \;\perp_P^a.

    © geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

  3. Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro \;C\; o centro \;O\; da circunferência requerida será tal que \;OC\; é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
    Se tormarmos a reta \;e\; do lugar geométrico dos pontos à distância de \;a\; igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), \;CEO\; é um triângulo isósceles. \;E\; é \;e.\perp_P^a
  4. \; O_1\; é a interseção da perpendicular \;PE\; com a mediatriz de \;CE\; (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de \;C\; e \;E\;)
    A circunferência de centro em \;O_1\; a passar por \;P\; satisfaz o requerido.
  5. Do mesmo modo, considerando \;f\; e \;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a \;O_1, \;O_2\;, a mediatriz de \;FC\; interseta a \;\perp_P^a num ponto \;O_2\;. Este é o centro da segunda circunferência a passar por \;P\; que satisfaz as condições do problema.

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.
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18.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (12)

Problema: Determinar uma circunferência com um dado raio, que passa por um ponto dado e é seccionada por uma reta segundo uma corda de comprimento dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.

  1. Dados (a azul): dois segmentos, um de comprimento raio, outro de comprimento corda, uma reta \;a\; e um ponto \;P\; da circunferência

    Para resolver este problema, basta determinar um ponto \;O\; para centro da circunferência nas condições definidas.
  2. O centro O da circunferência estará à distância raio de \;P\;, isto é, será um dos pontos de \;(P, \; \mbox{raio})\; - 1º lugar geométrico da lista.

    © geometrias, 18 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

  3. Por outro lado, a circunferência de centro \;O\; deve cortar \;a\; num segmento de comprimento corda dado. Tirámos por \;P\; uma perpendicular (auxiliar) a \;a\; de pé \;P_a\;. Se tomamrmos este ponto como ponto médio do segmento \;AB\; de comprimento corda podemos determinar um \;P_0\; sobre a reta \;PP_a\; para o qual \;AP_0\; tem comprimento igual ao raio. Os centros \;O_1, \;O_2\; sobre a paralela a \;a\; tirada por \;P_0\; (2º lugar geométrico da lista)
  4. Portanto, \;O_1, \;O_2\; estão na interseção dos dois lugares geométricos - paralela à distância \;P_aP_0\; de \;a\; no semiplano \;a, \;P\;.
  5. As soluções são as circunferências \;(O_1, \;\mbox{raio}\;)\; e \;(O_2, \;\mbox{raio}\;)\;.
  6. A perpendicular a \;a\; tirada por \;O_1\; interseta \;a\; no ponto médio da corda \;CD\; de comprimento igual corda dada. Do mesmo modo, para \;O_2\;

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas do ponto e reta dados.
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16.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (11)

Problema: Determinar um triângulo retângulo inscrito numa dada circunferência e tal que os seus catetos passem por dois pontos dados.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
       Dados (a azul): uma circunferência de centro \;O, dois pontos \;P,\;Q\;

Para resolver este problema, basta determinar um ponto \;A\; da circunferência dada, de tal modo que \;P\hat{A}Q\; seja um ângulo reto.
  1. O lugar geométrico dos pontos tais que as retas tiradas para dois extremos \;P\;\;,\;Q\; de um segmento fazem um ângulo é constituído por dois arcos de circunferências congruentes que têm por corda comum \;PQ\;. No caso, como \;P\hat{A}Q é reto, o lugar geométrico são dois semicírculos, ou seja \;PQ\; é um diâmetro. Obviamente, os extremos do diâmetro não são pontos do lugar geométrico (5º lugar geométrico da lista)
    Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.


    © geometrias, 16 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

  2. Construímos o lugar geométrico dos pontos tais que \;P\hat{A}Q\; é reto; nada mais que a circunferência de diâmetro \;PQ\;, excetuando os seus pontos \;P\; e \;Q\; - tracejada a castanho, na figura.
  3. Qualquer dos pontos de interseção da circunferência de diâmetro \;PQ\; (centro \;M\;) com a circunferência dada de centro \;O\;, caso existam, resolve o problema.
  4. No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos \;A\; e \;A'\;.
    5. O triângulo \;APQ\; é retângulo em \;A\;. Tomemos os segundos pontos de interseção das retas \;AP\; e \;AQ\; com a circunferência de centro \;O\; dada, que designámos por \;B\; e \;C\; respetivamente. Como \;A\;, B\;, C\; são pontos da dada circunferência centrada em \;O\;, a hipotenusa \;BC\; oposta ao ângulo reto em \;A\;, passa pelo ponto \;O\;.
    O triângulo \;ABC\; está bem definido e tem as propriedades requeridas pelo problema.
  5. O triângulo \;A'B'C'\; obtido de forma análoga ao \;ABC\; é outra solução do problema.

Para a circunferência dada, fazendo variar algum dos pontos \;P; \;Q\; (ou ambos) confirmará que pode haver duas, uma ou zero soluções.
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15.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (10)

Problema: Determinar uma circunferência de um dado raio e centro sobre uma dada reta que seja tangente a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro \;O_0\;, uma reta \;a\; ; um segmento \;r\;.
2.
Para resolver este problema, basta-nos determnar um ponto \;O\; sobre \;a\; de tal modo que seja centro de uma circunferência de raio \;r\; e tangente à circunferência dada de centro \;O_0\;.
  • As circunferências de raio \;r\; que tocam num só ponto uma circunferência de centro \;O_0\; e raio \;r_0\; estão sobre uma circunferência de centro \;O_0\; e raio \;r_0 + r\;
  • Traçada essa circunferência \;(O_0, r+r_0 )\;,lugar geométrico dos pontos \;P\; tais que \;O_0P=r_0 +r\;, só nos resta determinar a interseção dela com a reta \;a\;.
    No último passo toma-se \;O\;, um dos pontos de interseção de \;(O_0, r+r_0 )\;, e a circunferência \;(O, r) (a vermelho) satisfaz as condições do problema.
Utilizámos tão só circunferências, ou seja o 1º lugar geométrico da lista.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\;

© geometrias, 15 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
No caso da nossa figura, a circunferência \;(O_0, r_0+r) \;) interseta \;a\; em dois pontos, ou seja há duas soluções para o problema.
Pode fazer variar o tamanho de \;r\; e confirmar que pode haver uma só solução ou nenhuma. E poderá, estudar as condições de existência das soluções (dependendo de \;r\;, \;r_0\;, ...)
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14.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro \;O\; e dois pontos \;A\;B\; sobre ela; um segmento \;s=AC+BD\;.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos \;C, \;D\; da circunferência dada, tais que \;AC\; \parallel \;BD\; e \;s=AC+BD\;. \;ABCD\; será um trapézio inscrito na circunferência de centro \;O\; dada.
  • Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: \;AC\; \parallel \;BD\; e, em consequência, \;CD=AB\;. Os pontos médios \;M, \; N\; das cordas \;AB\; e \;CD\; estão à mesma distância de \;O\;. \;MO = NO\;. Isto é os pontos médios de \;AB\; e \;CD\; estão na circunferência \;(O, OM)\; (1º lugar geométrico da lista)
  • Como \;MN\; é a mediana \;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\; do trapézio \;ABCD\; , \;N\; estará sobre a circunferência centrada em \;M\; e de raio \; \displaystyle \frac{s}{2}\; (1º lugar geométrico da lista).


© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
A interseção das circunferências \;(O, OM)\; e \; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\; (caso existam), serão pontos médios de \;CD\; de acordo com as condições do problema. Conhecido \;N\;, como interseção da perpendicular a \;ON\; com a circunferência dada obtêm-se os pontos \;C\; e \;D\;
(\;CD\; é corda da circunferência dada de centro \;O\; e \;N\; é o ponto médio \;CD\;)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos \; N, \;N'\; e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido \;ACBD\; e \;AC'D'B\;
Pode fazer variar o tamanho de \;s\; e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a \;AB\; e em que os segmentos \;AB\; e \;CD\; se intersetam, ...
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8.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (8)

Problema:Construir um triângulo de que se conhecem um ângulo, o lado a ele oposto e a mediana relativa ao lado conhecido.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados: dois pontos \;B\;C\;,segmento \;a=BC\;,comprimento da mediana \;m_{BC}, ângulo de amplitude \;\alpha\;.
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos \;A\; , 3º vértice do triângulo \;ABC\; de que se conhecem \;B,\;C\;, sabendo que \;\angle B\hat{A}C\; terá de ser igual a \;\alpha\; e \;AM_{BC}=m_{BC}\;
  1. O 5º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos, dos quais partem retas para os extremos \;B,\;C\; de um segmento fazendo um ângulo \;\alpha\;, estão sobre dois arcos congruentes de duas circunferências com uma corda - \;a=BC\; - comum.
  2. O lugar geométrico dos pontos à distância \; m_{BC}\; de \;M_{BC}\;, ponto médio de \;BC\;, estão na circunferência de centro \;M_{BC}; e raio \; m_{BC}\; (1º lugar geométrico da lista)


© geometrias, 8 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
A interseção dos lugares geométricos (5º e 1º, para os dados do problema) são os pontos \;A, \; \; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\;.
Há, em consequência, quatro triângulos \;ABC, \; \; A_1 BC ,\; A_2 BC,\; A_3 BC\;, a vermelho na figura, que satisfazem as condições requeridas

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6.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (6)

Problema: Construir uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas e a passar por um ponto dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente duas retas paralelas \;a,\;b\; e um ponto \;P\; dados .
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos \;O\; a igual distância das retas paralelas e do ponto \;P\;.
  1. O 2º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos equidistantes de uma reta \;m\; estão sobre retas paralelas a ela. Assim, é óbvio que o lugar geométrico dos pontos \;M\; equidistantes das retas \;a, \; b\; à distãncia \;d\; uma da outra, será a reta a elas paralela e a meia distância \; \displaystyle \frac{d}{2}\; entre \;a\; e \;b\;. Os pontos \;O\; procurados estão, por isso, sobre \;m\;.
  2. O lugar geométrico dos pontos à dstância \; \displaystyle \frac{d}{2}\; de \;P\; estão na circunferência de centro \;P\; e raio \; \displaystyle \frac{d}{2}\; (1º lugar geométrico da lista)


© geometrias, 6 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos \;O_1 \;\mbox{e} \; O_2 \; Há, em consequência, duas circunferências de raio \; \displaystyle \frac{d}{2}\; e centros \;O_1 \;\mbox{e}\; O_2 \; que são soluções do problema.

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5.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

Problema: Construir um triângulo \;ABC\; de que são dados o lado \;AB\;, a altura \;h_{AB}\; e a mediana \;m_{AB}\; relativa ao lado dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos \;A,\;B\; e dois segmentos mediana e altura .
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto \;C\;, vértice oposto a \;AB\; tal que:
  1. o segmento da perpendicular a \;AB\;, tirada por \;C\;, \;CH_{AB}\;, tem comprimento igual ao segmento altura dado:
    • isto é, \;C\; é um ponto do lugar geométrico dos pontos P que distam da reta \;AB\; uma altura que é constiuído pelas duas retas paralelas \;c''\;, que distam uma altura de \;AB\; (2º lugar geométrico da lista).
      • e
  2. \;CM_{AB}\; é igual ao segmento mediana dado
    • isto é, \;C\; é um ponto do lugar geométrico dos pontos P que distam do ponto \;M_{AB}\;, médio de \;AB\;, o comprimento da mediana que é uma circunferência de centro \;M_{AB}\;e raio igual à mediana dada. (1º lugar geométrico da lista).


© geometrias, 5 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos \;C, D, E, F \; Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: \;ABC\;, \;ABD\;, \;ABE\; e \;ABF\;.

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4.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

Problema: Construir um triângulo \;ABC\; de que são dados o lado \: ;AB\;, o ângulo \;\gamma \; oposto ao lado dado e a diferença k^2 dos quadrados dos lados AC e BC

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos \;A,\;B\; um ângulo \;\gamma\; e \;k, sendo \;k^2 = AC^2 - BC^2 . Na nossa figura apoiamo-nos numa construção auxiliar sobre \;k\; dado, em que tomamos A_0 e B_0 como extremos do segmento \; k\; e \;P_0; como vértice de um triângulo retângulo de que é dado o cateto \;A_0B_0 =k\;: \;k^2 + A_0P_0^2 = B_0P_0^2\;
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto \;C\;, vértice oposto a \;AB\; tal que:
  1. \;\angle\;A\hat{C} B = \gamma
    • isto é, do lugar geométrico dos pontos P do qual as retas tiradas para os extremos de um segmento \;AB\; formam um ângulo \;\gamma\; dado que é constituído por dois arcos de circunferências congruentes das quais \;AB\; é corda comum (5º lugar geométrico da lista).
      • e
  2. |AC^2-BC^2|= k^2
    • isto é, do lugar geométrico dos pontos P para os quais é dada a diferença \;k^2\; dos quadrados das suas distâncias a \;A\; e a \;B que é uma reta perpendicular a \;AB\; (trata-se do 8º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos de interseção das circunferências \;(A, A_0P_0)\; e \;(B, B_0P_0)\; ou das \;(A, B_0P_0)\; e \;(B, A_0P_0)\; e as retas definidas, uma por cada par de pontos de cada uma dessas interseções).


© geometrias, 4 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
A interseção dos lugares geométricos (2º e 8º, para os dados do problema) são os pontos \;C, D, E, F \; Há, em consequência, quatro triângulos congruentes que são soluções do problema: \;ABC\;, \;ABD\;, \;ABE\; e \;ABF\;.

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3.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção

Problema: Construir um triângulo ABC de que são dados o lado AB, a altura h relativa ao lado dado e a soma k^2 dos quadrados dos lados AC e BC

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente dois pontos \;A,\;B\; e dois segmentos \;h\; e \;k, sendo \;k^2 = AC^2 + BC^2
Chamámos \;c\; à reta \;AB;.
2.
O triângulo fica construído se determinarmos um ponto C:
  1. H_c C = h
    • isto é, do lugar geométrico dos pontos P que estão à distância \;h\; de \;AB\; que é constituído pelas duas retas \;c', c'' \; (2º lugar geométrico da lista).
      • e
  2. AC^2+BC^2 = k^2
    • isto é, do lugar geométrico dos pontos P para os quais é constante a soma dos quadrados das suas distâncias a \;A\; e a \;B que é a circunferência amarela de centro no ponto médio de \;AB\; e cujo raio \;MP\; é tal que \;MP^2=PA^2+PB^2\; ou, como já vimos, \; \displaystyle MP^2+MB^2=\frac{k^2}{2}\; ( trata-se do 9º lugar geométrico da lista cuja construção se resume a encontrar os pontos N' e Q' que são os pés das perpendiculares a \;AB\; tiradas pelos pontos \;N\; e \;Q\; de interseção da reta diagonal do quadrado de lado AB com a circunferência centrada em \;B\; e raio \;k).


© geometrias, 3 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
No caso da nossa construção, há quatro soluções: \;ABC\;, \;ABD\;, \;ABE\; e \;ABE\;.
Para além das condições de existência do 9º lugar geométrico é preciso que \; \displaystyle h\leq \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} \;
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1.3.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (3)

Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos \;A, B, C\; dados tenham razões \;\displaystyle \frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{x}{z}.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos \;A (azul), \;B (verde) e \;C (castanho) e três segmentos \;x (azul), \;y(verde) e \;z(castanho)
Chamámos \;a\; à reta \;BC;. Do mesmo modo, \;b = AC e \;c = AB
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância \;x\; de \;A\; é a circunferência (azul tracejado) de centro em \;A\; e raio \;x\; (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância \;y\; de \;B\; é a circunferência (verde tracejada) de centro em \;B\; e raio \;y\; e o lugar geométrico dos ponto à distância \;z\; de \;C\; é a circunferência de centro \;C\; e raio \;C.

© geometrias, 1 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências \;(A, x)\; e \;(B, y)\; são correspondentes pelas homotetias \;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\; e \;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right): \displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}
Dito de outro modo, os pontos \;I_{AB}, E_{AB}\; dividem, interna e externamente, o segmento \;AB\; em segmentos cuja razão \; \displaystyle \frac{x}{y}. À circunferência de diâmetro \;I_{AB} E_{AB}\; chamamos circunferência de Apolónio para o segmento AB e a razão \; \displaystyle \frac{x}{y}. Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos X tais que, para os triângulos AXB, os pés das bissetrizes do ângulo \;A\hat{X}B\; sobre \;AB\; são \;I_{AB}, E_{AB}\; que separam harmonicamente \;AB\; e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão \;\displaystyle \frac{x}{y}\;. Os pontos X dessas circunferências de Apolónio são tais que \; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\; (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão \;\displaystyle \frac{y}{z} das suas distâncias aos pontos \;B, C\; que é a circunferência de diâmetro \;I_{BC}E_{BC}\;
b) e dos pontos para os quais é constante a razão \;\displaystyle \frac{x}{z} das suas distâncias aos pontos \;A, C\; que é a circunferência de diâmetro \;I_{AC}E_{AC}\; .
5.
Os pontos \;P, Q\; de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros \;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\; (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas. \frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z} \frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}

No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são \;P, Q. Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.
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