Pontos médios das arestas de um cubo (ou de um octaedro) são vértices de um cuboctaedro

exercícios elementares: as Pirâmides em Geogebra3D

octaedro regular de vértices sobre as arestas do tetraedro regular

Relações entre tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera.

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As construções do tetraedro (XIII.13) e do cubo(XIII.15) começam exatamente do mesmo modo:

1. o diâmetro $\;AB\;$ da esfera em que ambos se inscrevem é dividido por um ponto $\;C\;$ de tal modo que $\;AC=2CB;\;$
2. sobre um semicírculo com esse diâmetro $\;AB\;$ que gera a esfera, tomámos um ponto $\;D\;$ tal que $\;CD\;$ é perpendicular a $\;AB;\;$
3. para o tetraedro inscrito, a aresta é $\;AD ;\;$
4. para o cubo inscrito na mesma esfera, a aresta é $\;DB.\;$

Em (XIII.13) vimos que $\;AB^2=\displaystyle \frac{3}{2}AD^2\;$ e, em (XIII.15), vimos que $\;AB^2=3DB^2\;$. Em consequência, de $\;\displaystyle \frac{3}{2}AD^2 = 3DB^2\;$ se retira que $\;AD^2=2DB^2,\;$ ou seja que $\;AD\;$ é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado igual a $\;DB\;$. Assim vimos que a aresta de um tetraedro inscrito numa esfera de diâmetro dado tem comprimento igual à diagonal da face do cubo inscrito na mesma esfera.

© geometrias. 23 de julho de 2015, Criado com GeoGebra

Nota: Pode utilizar as ferramentas (topo esquerdo - para deslocar a figura e vê-la de vários pontos de vista; topo direito - para desfazer ou refazer transformações da figura)

Na construção que se segue, pode ver-se um cubo de 8 vértices $\;E, \;F, \;G, \;H, \;K, \;L,\; M, \;N\;$ extremos de 12 arestas $\;EF, \;FG, \;GH, \;EK, \;KL, \;LF, \;KN, \;NM, \;ML, \;GM, \;HN \;$ que limitam 6 faces quadradas $\;[EFGH], \;[EFLK], \;[KLMN], \;[MNHG], \;[FGML].$
Conforme a construção feita, 4 dos vértices do cubo - $\;E, \; G, \;L, \;N\;$ - são vértices do tetraedro, extremos das suas 6 arestas $\;EG, \;EL \;EN, \; GL, \;LN, \;NG,\;$ cada uma diagonal de uma face do cubo, que limitam as 4 faces triangulares do tetraedro $\;EGL, \;ELN, \;ENG, \;GLN.\;$
Claro que os outros 4 vértices do cubo $\;F,\;H,\;K,\; M\;$ também são vértices de um tetraedro, extremos de outras diagonais das faces do cubo.

Aproveitamos para comparar os volumes dos tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera. Se do cubo removermos o tetraedro, sobram-nos quatro pirâmides iguais: por exemplo, $\;EGHN, \; $ de base $\;GHN\;$ triangular, que é (por XII.9) a terça parte do prisma de bases $\;EFK\;$ e $\;HGN\;$ triangulares iguais. Por sua vez, é óbvio que este prisma é meio cubo, logo cada uma dessas pirâmides sobrantes após a remoção do tetraedro é a sexta parte do cubo, e o conjunto delas representa quatro sextas partes. Vimos assim que o tetraedro representa duas sextas partes ou a terça parte do cubo em termos de volume.

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1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
   
2. David Joyce. Euclide's Elements

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)

Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e um seu ponto $\;P\;$, uma circunferência de centro $\;C\;$
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. Para ser tangente a $\;a\;$ no ponto $\;P\;$, o centro $O$ da circunferência requerida na perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$ - $\;\perp_P^a$.
   
   

   © geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro $\;C\;$ o centro $\;O\;$ da circunferência requerida será tal que $\;OC\;$ é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
   Se tormarmos a reta $\;e\;$ do lugar geométrico dos pontos à distância de $\;a\;$ igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), $\;CEO\;$ é um triângulo isósceles. $\;E\;$ é $\;e.\perp_P^a$
   
4. $\; O_1\;$ é a interseção da perpendicular $\;PE\;$ com a mediatriz de $\;CE\;$ (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;E\;$)
   A circunferência de centro em $\;O_1\;$ a passar por $\;P\;$ satisfaz o requerido.
5. Do mesmo modo, considerando $\;f\;$ e $\;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a$ $\;O_1, \;O_2\;$, a mediatriz de $\;FC\;$ interseta a $\;\perp_P^a$ num ponto $\;O_2\;$. Este é o centro da segunda circunferência a passar por $\;P\;$ que satisfaz as condições do problema.

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.