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22.11.16
23.7.15
Relações entre tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera.
As construções do tetraedro (XIII.13) e do cubo(XIII.15) começam exatamente do mesmo modo:
Nota: Pode utilizar as ferramentas (topo esquerdo - para deslocar a figura e vê-la de vários pontos de vista; topo direito - para desfazer ou refazer transformações da figura)
Na construção que se segue, pode ver-se um cubo de 8 vértices \;E, \;F, \;G, \;H, \;K, \;L,\; M, \;N\; extremos de 12 arestas \;EF, \;FG, \;GH, \;EK, \;KL, \;LF, \;KN, \;NM, \;ML, \;GM, \;HN \; que limitam 6 faces quadradas \;[EFGH], \;[EFLK], \;[KLMN], \;[MNHG], \;[FGML].
Conforme a construção feita, 4 dos vértices do cubo - \;E, \; G, \;L, \;N\; - são vértices do tetraedro, extremos das suas 6 arestas \;EG, \;EL \;EN, \; GL, \;LN, \;NG,\; cada uma diagonal de uma face do cubo, que limitam as 4 faces triangulares do tetraedro \;EGL, \;ELN, \;ENG, \;GLN.\;
Claro que os outros 4 vértices do cubo \;F,\;H,\;K,\; M\; também são vértices de um tetraedro, extremos de outras diagonais das faces do cubo.
Aproveitamos para comparar os volumes dos tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera. Se do cubo removermos o tetraedro, sobram-nos quatro pirâmides iguais: por exemplo, \;EGHN, \; de base \;GHN\; triangular, que é (por XII.9) a terça parte do prisma de bases \;EFK\; e \;HGN\; triangulares iguais. Por sua vez, é óbvio que este prisma é meio cubo, logo cada uma dessas pirâmides sobrantes após a remoção do tetraedro é a sexta parte do cubo, e o conjunto delas representa quatro sextas partes. Vimos assim que o tetraedro representa duas sextas partes ou a terça parte do cubo em termos de volume.
- o diâmetro \;AB\; da esfera em que ambos se inscrevem é dividido por um ponto \;C\; de tal modo que \;AC=2CB;\;
- sobre um semicírculo com esse diâmetro \;AB\; que gera a esfera, tomámos um ponto \;D\; tal que \;CD\; é perpendicular a \;AB;\;
- para o tetraedro inscrito, a aresta é \;AD ;\;
- para o cubo inscrito na mesma esfera, a aresta é \;DB.\;
© geometrias. 23 de julho de 2015, Criado com GeoGebra
Na construção que se segue, pode ver-se um cubo de 8 vértices \;E, \;F, \;G, \;H, \;K, \;L,\; M, \;N\; extremos de 12 arestas \;EF, \;FG, \;GH, \;EK, \;KL, \;LF, \;KN, \;NM, \;ML, \;GM, \;HN \; que limitam 6 faces quadradas \;[EFGH], \;[EFLK], \;[KLMN], \;[MNHG], \;[FGML].
Conforme a construção feita, 4 dos vértices do cubo - \;E, \; G, \;L, \;N\; - são vértices do tetraedro, extremos das suas 6 arestas \;EG, \;EL \;EN, \; GL, \;LN, \;NG,\; cada uma diagonal de uma face do cubo, que limitam as 4 faces triangulares do tetraedro \;EGL, \;ELN, \;ENG, \;GLN.\;
Claro que os outros 4 vértices do cubo \;F,\;H,\;K,\; M\; também são vértices de um tetraedro, extremos de outras diagonais das faces do cubo.
Aproveitamos para comparar os volumes dos tetraedro e cubo inscritos numa mesma esfera. Se do cubo removermos o tetraedro, sobram-nos quatro pirâmides iguais: por exemplo, \;EGHN, \; de base \;GHN\; triangular, que é (por XII.9) a terça parte do prisma de bases \;EFK\; e \;HGN\; triangulares iguais. Por sua vez, é óbvio que este prisma é meio cubo, logo cada uma dessas pirâmides sobrantes após a remoção do tetraedro é a sexta parte do cubo, e o conjunto delas representa quatro sextas partes. Vimos assim que o tetraedro representa duas sextas partes ou a terça parte do cubo em termos de volume.
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
21.3.14
Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)
Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.
Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.
Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor \;\fbox{n}\; na figura abaixo.
- Dados (a azul): uma reta \;a\; e um seu ponto \;P\;, uma circunferência de centro \;C\;
Para resolver este problema, basta determinar um ponto \;O\; para centro da circunferência nas condições definidas. - Para ser tangente a \;a\; no ponto \;P\;, o centro O da circunferência requerida na perpendicular a \;a\; tirada por \;P\; - \;\perp_P^a.
© geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
- Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro \;C\; o centro \;O\; da circunferência requerida será tal que \;OC\; é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
Se tormarmos a reta \;e\; do lugar geométrico dos pontos à distância de \;a\; igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), \;CEO\; é um triângulo isósceles. \;E\; é \;e.\perp_P^a
- \; O_1\; é a interseção da perpendicular \;PE\; com a mediatriz de \;CE\; (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de \;C\; e \;E\;)
A circunferência de centro em \;O_1\; a passar por \;P\; satisfaz o requerido. - Do mesmo modo, considerando \;f\; e \;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a \;O_1, \;O_2\;, a mediatriz de \;FC\; interseta a \;\perp_P^a num ponto \;O_2\;. Este é o centro da segunda circunferência a passar por \;P\; que satisfaz as condições do problema.
Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.
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