Problema: De um quadrilátero \;ABCD\;, inscritível numa circunferência, conhecemos um vértice \;A, a amplitude do ângulo \;\angle Â\; e os comprimentos de um dos lados adjacentes ao ângulo \;AB\; e das diagonais \;AC, \;BD. Determinar os restantes vértices \;B, \;C, \;D\; desse quadrilátero.
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto
Podemos variar a amplitude \;\alpha\; e os comprimentos \;A_0B_0\; \;A_0C_0\; e \;B_0D_0\;
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto
- Dados (a azul): um ângulo \;\alpha\; de amplitude igual à do ângulo \; \angle BÂD\; um segmento \;A_0B_0\; de comprimento igual ao lado \;AB\;; um segmento \;A_0C_0\; de comprimento igual à diagonal \;AC\;; um segmento \;B_0D_0\; de comprimento igual à diagonal \;BD\;
- O vértice \;B\; é um dos pontos que está à distância \;A_0B_0\; do vértice \;A\; (1º lugar geométrico da lista). Tomemos um ponto sobre a circunferência \;(A, \;A_0B_0)\; e designemo-lo por \;B\;.
© geometrias, 28 de Março de 2014, Criado com GeoGebra
- Os pontos \;B, \;A\; definem a reta \;AB\; e podemos construir o ângulo de vértice \;A\; e lados \;AB, \;AD\;
O ponto \;D\; está no segundo lado do ângulo \;\angle \alpha\; e à distância \;B_0D_0\; de \;B\;, ou seja, na interseção da circunferência \;(B, \;B_0D_0)\; com o segundo lado do ângulo \;\angle BÂD\; - Há um só ponto equidistante dos pontos \;A, \;B, \;D\; (interseção das mediatrizes dos segmentos \;AB\; e \;BD\; - 3º lugar geométrico da lista) e por isso há uma única circunferência a passar por \;A, \;B, \;D\; - 1º lugar geométrico da lista dos pontos equidistantes a um dado ponto.
Assim, sendo inscritível o quadrilátero terá os seus quatro vértices sobre a circunferência determinada por \;A, \;B, \;D\;, a castanho na figura.
\;C\; está à distância \;A_0C_0\; de \;A\;, ou seja na circunferência \;(A, \;A_0C_0)\; (1º lugar geométrico da lista)
No caso da nossa figura, \;C\; é um dos dois pontos de interseção das circunferências \;(A, \;B, \;D)\; e \;(A, \;A_0C_0)\;
Podemos variar a amplitude \;\alpha\; e os comprimentos \;A_0B_0\; \;A_0C_0\; e \;B_0D_0\;
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