O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Temos como dados um comprimento $k$, e dois pontos $A$ e $B$. Para determinar algum ponto $P$ tal que $PA^2+PB^2=k^2$, começamos por construir um triângulo retângulo em $P_O$ de hipotenusa $k=A_0B_0$. Com centro em $A$ e raio $A_0P_0$ desenhamos uma circunferência e com centro $B$ e raio $B_0P_0$ outra. Um ponto $P$ de interseção destas duas circunferências, caso exista, verifica a condição $PA^2+PB^2=k^2$ de definição do 9º lugar geométrico
2. o botão de animação ligado a $P_0$ variável dá uma sugestão sobre qual será o conjunto dos pontos que procuramos - pelos traços de $P$ e $Q$.

   © geometrias, 14 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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   Deslocando manualmente $P_0$ ou clicando no botão de animação, obtemos um grande conjunto de pontos $P$ do 9º lugar geométrico, e a sugestão de que todos eles estarão sobre uma circunferência de diâmetro sobre a reta $AB$.
   Para voltar ao desenho original clique no botão da direita ao cimo da janela.
3. Que a nossa conjetura feita a partir da observação é correta pode ver-se assim:
   • Para qualquer triângulo $PAB$, sabemos que $2\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, temos $ 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + 2\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}$.
     Ora, como $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, calculando o quadrado escalar de $\overrightarrow{AB}$, temos
     $\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}$ ou $ 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2$
     E, assim, temos $\;\; 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 +\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2\;\;$ ou $\quad \quad{ \displaystyle PA^2+PB^2=2.PM^2+ \frac{AB^2}{2}}$
   • No caso de $P$ verificar a condição $PA^2+PB^2 = k^2$, $$k^2= 2. PM^2+\frac{AB^2}{2} \;\;\; \mbox{ou} \;\;\; PM^2 = \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$$
     Vimos assim que para os dados $k, A, B$, os pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2=k^2$, quando existem, estão sobre a circunferência   "$ PM^2 = \displaystyle \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4} $" , de centro $M$ e raio $ \displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}}$.
4. Seja $P$ um ponto qualquer do círculo de centro "$M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, para $A, B, k$ dados.
   • Se $P, A, B$ não são colineares, $PAB$ é um triângulo e como vimos antes, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, então $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2.PM^2 + \frac{AB^2}{2}$ e, sendo $P$ um ponto da circunferência considerada acima, o raio $PM$ é tal que $\displaystyle PM^2 = \frac{K^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$, de onde se pode concluir que $$PA^2+PB^2 = 2. \left(\frac{k^2}{2} -\frac{AB^2}{4}\right) + \frac{AB^2}{2}= k^2$$ Ou seja $P$ é um ponto do lugar geométrico.
   • Se $P$ é um dos pontos em que a reta $AB$ encontra a circunferência de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, como $$\overrightarrow{PA^2}+ \overrightarrow{PB^2}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})^2 + (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MA}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MB}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MB} $$ $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}, AM=BM, 2.AM=AB, 2.AM^2=AB^2$,
     $PA^2 + PB^2 = 2.PM^2+ 2.AB^2 = 2(\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4})+2.AB^2=k^2.$
     Ou seja, os pontos $P$ da circunferência de centro e raio referidos, colineares com $A$ e $B$, satisfazem a condição do lugar geométrico.
5. Só nos falta ver as condições de existência do lugar geométrico em si.
   Para $A \neq B$ a circunferência de que temos vindo a falar existe só e só quando $$\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \geq 0, \mbox{isto é, quando} \frac{k^2}{2} \geq \frac{AB^2}{4} $$
   • Para $\displaystyle k^2 = \frac{AB^2}{2}\;\; \mbox{ou seja, para}\;\; k= AB. \frac{\sqrt{2}}{2}$, a circunferência reduz-se ao seu centro $M$, ponto médio de $AB$:
     $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2}}{2}. {AB} \Leftrightarrow k^2= \frac{AB^2} {2} \Leftrightarrow \frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4} = 0 \Leftrightarrow PM^2 =0 \Leftrightarrow P=M $
   • Se $\displaystyle k^2 < \frac{AB^2}{2}$ não existe qualquer ponto $P$: $PA^2+PB^2 = k^2$, já que $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}$ e $\displaystyle 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}\geq \frac{AB^2}{2}$.
6. Para os valores de $k$: $\displaystyle k^2 >\frac{AB^2}{2}$, os pontos $P$ para os quais é constante $k^2$ a soma dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A$ e $B$ dados, é a circunferência de centro no ponto médio $M$ de $AB$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$
7. Para a construção deste lugar geométrico, H. Eves propõe os seguintes passos:
   1. Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   2. Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $A$.
   3. A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.

O oitavo lugar geométrico da lista - P tais que PA2-PB2 constante.

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O 8º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VIII. O lugar geométrico dos pontos para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos dados é uma reta perpendicular à reta que passa pelos dois pontos dados

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Tomamos os pontos $A$, $B$ e a reta $AB$ por eles definida.
2. Para um valor de $k$, pretendemos determinar um ponto $P$ tal que $PA^2 - PB^2=k^2$ que é equivalente a $PA^2+k^2=PB^2$. Para determinar a distância $PA$, desenhamos um triângulo retângulo de catetos $k$ e $B_0 P_0$ (variável), sendo a hipotenusa $A_0P_0$. Com centro em $A$, desenhamos uma circunferência de raio $A_0P_0$ e, com centro em $B$, desenhamos a circunferência de raio $B_0P_0$. Quando estas circunferências se intersetam, os pontos de interseção $P$ são tais que $PA^2-PB^2=k^2$, condição do 8º lugar geométrico.
   

   © geometrias, 9 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) permite acionar o deslocamento de $P_0$ sobre a reta $B_0P_0$, o que acarreta a variação dos comprimentos dos segmentos $B_0P_0$ e $A_0P_0$ e, logo, os pontos $P$ tais que $PA^2-PB^2= k^2$.
   Para cada $k$, após a animação e os traços deixados por $P$ na sua variação, sugerem-nos que o lugar geométrico é uma reta perpendicular a $AB$.
4. Precisamos de abordar alguns resultados vetoriais para determinar o lugar geométrico:
   • Consideremos o triângulo $PAB$, o ponto $M$ médio de $AB$ e o pé $H$ da perpendicular a $AB$ tirada por $P$, como podemos ver na figura inicial e a que podemos voltar sempre clicando no botão na direita alta da figura dinâmica.
   • Lembramos o produto escalar de dois vetores: $\overrightarrow {PA}.\overrightarrow{PB}=\overline{PA}.\overline{PB}.cos(A\hat{P}B)$.
     E, tendo em conta essa definição, por exemplo, $\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PA} = {PA}^2$ e $\overrightarrow{PH}.\overrightarrow{AH}= 0$.
     Calculemos a diferença dos quadrados de dois lados de $PAB$ , no caso $PA^2-PB^2$: ${PA}^2 -{PB}^2 = \overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{PB}^2= (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}).(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$.
     Como $\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2.\overrightarrow{PM}$, temos $PA^2 - PB^2 = 2.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}$. E, finalmente, por ser $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HM}$ e $PH \perp BA$, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{HM}$ podemos concluir $$PA^2 - PB^2 =2.\overline{AB}.\overline{MH}$$
5. Seja um ponto $P$ do lugar geométrico, ou que verifica a condição $PA^2-PB^2 = k^2$. Na alínea anterior estabelecemos que, para qualquer triângulo $PAB$, $PA^2- PB^2 = 2. AB. MH$. Por isso, $2.AB.MH = k^2$ ou seja $\displaystyle MH =\frac{k^2}{2.AB}$ Para dados $A$, $B$ e $k$, há um só $M$ e, logo, um só $H$. Por isso, o ponto $P$ do lugar geométrico está na perpendicular a $AB$ tirada por $H$.
6. • Será que qualquer ponto dessa perpendicular a $AB$ tirada por $H$ verifica a condição do lugar geométrico?
     Seja um ponto $P$ qualquer da perpendicular a $AB$ tirada por $H$, e consideremos o triângulo $PAB$. Sabemos que $PA^2-PB^2 = 2.AB.MH$. Como $\displaystyle MH=\frac{k^2}{2.AB}$, $\;\;PA^2-PB^2=k^2$.
   • Se $P \equiv H$, usando segmentos orientados: $HA^2-HB^2 = (\overline{HA}+\overline{HB}).(\overline{HA}-\overline{HB}) = 2.\overline{HM}. \overline{BA}= 2\overline{AB}.\overline{MH} = k^2$
     Ou seja $H$ também verifica a condição do lugar geométrico.
   Podemos concluir que o conjunto dos pontos, para os quais a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A, B$ dados é constante $k^2$, é a reta (ou o plano) perpendicular a $AB$ e num ponto $H$ definido por $2 \overline{MH}. \overline{AB}= k^2$

Se desejar tomar outro valor da constante $k$, basta deslocar $A_0$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 7º lugar geométrico da lista - pontos P tais que é constante a razão das suas distâncias a duas retas concorrentes dadas

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O 4º lugar geométrico da lista era defnido como conjunto de pontos $P$ a igual distância de duas retas concorrentes $a$ e $b$ (bissetrizes dos ângulos $\angle \hat{a, b}$). Concentremo-nos no 4º que é afinal um caso particular do 7º para $k=1$

O 7º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VII.O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão $k$ é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas.
O lugar geométrico (IV) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.

Usando o lugar
II. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta, a construção que se segue iustra bem o processo seguido, em tudo semelhante ao já usado antes:

1. Tomamos as retas $a$ e $b$ que se intersetam num ponto $O$, um seletor $d$ e um outro $k$.
2. Para um valor de $k$, tomamos uma circunferência centrada num ponto de $a$ e de raio $\;k.d\;$ e outra circunferência centrada num ponto de $b$ e de raio $d$. Para a primeira delas, tomamos o diâmetro perpendicular a $a$ e pelos seus extremos tiramos paralelas a $\;a - \;a_1, a_2\; -$ lugar geométrico dos pontos à distância $k.d$ de $a$. Do mesmo modo, obtemos as paralelas a $\;b - \;b_1, b_2\: -$ lugar geométrico dos pontos à distância $d$ de $b$.
3. As quatro retas $a_1 b_1 a_2 b_2$ formam um paralelogramo ($\; a_1 \parallel a_2, b_1 \parallel b_2\;$) cujas diagonais se bissetam em $\;O\;$ e de vértices $\;P_1 \;(a_1.b_1), P_2 \; (a_2.b_2), P_3 \; (a_2.b_2), P_4 \; (a_1.b_2)$. Estes pontos ${P_i: i=1, 2, 3, 4}$ estão à distância $d.k$ de $a$ e à distância $d$ de $b$, ou seja , são pontos tais que a razão das suas distâncias a $a$ e $b$ é $k$.
   

   © geometrias, 8 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. O botão de animação ao fundo à esquerda está ligado ao seletor $d$. Para cada valor de $k$, ao fazer variar $d$ obtemos um paralelogramo de vértices $P_i$ - extremos das diagonais $P_1P_3$ (sobre $l_1$) e $P_2P_3$ (sobre $l_2$) - que são do VII lugar geométrico que procuramos determinar.
   Mas será que, dados $a, b, k$, $l_1 \cup l_2$ é o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que é $k$ a razão das suas distância a $a$ e a $b$ ?
5. Consideremos um ponto $P$ de $l_1 \cup l_2$, $P \in l_1 \vee P \in l_2$, por exemplo, $P \in l_1$. Sabemos que para um dado valor $d_1$ de $d$, há um ponto $P_1 =a_1.b_1$ à distância $d_1$ de $b$ e à distância $k.d_1$ de $a$. As homotetias de centro $O$ transformam cada uma das retas $a, b, l_1, l_2$ em si mesmas. E transformam segmentos proporcionais em segmentos proporcionais na mesma razão, por isso, a homotetia de centro $O$ que transforma $P_1$ em $P$, transforma o segemnto $d_1$ da perpendicular a $b$ tirada por $P_1$ em $PH_b$ e o segmento $k.d_1$ da perpendicular a $a$ tirada por $P_1$ em $PH_a$. Por isso $PH_a=k.PHb$ e P é ponto do lugar geométrico que procuramos. Raciocínio análogo prova que um ponto de $l_2$ é ponto do lugar geométrico. O ponto $O (=l_1.l_2)$ é um ponto do lugar geométrico já que $ 0 = 0 \times k$
6. Reciprocamente: Seja um ponto qualquer $P: PH_a = k.PH_b$. Conduzamos por $P$ uma paralela $b'$ a $b$. Sobre esta $b'$ paralela a $b$, não há mais que dois pontos de $l_1 \cup l_2$ e, dada a definição de $P$, as interseções de $b'$ com $l_1 \cup l_2$ são pontos deste conjunto. Logo $P$ tem de ser um dos dois pontos da interseção $b'.(l_1\cup l_2)$, ponto de $l_1\cup l_2$. Como queríamos.

Notas:

• Usando o seletor $k$, pode ver o que acontece com outros valores da razão (constante), especialmente o que acontece com $k=1$.
• É interessante saber que: $\forall a, b$ {retas concorrrentes}, $\forall k \in \mathbb{R}^+$, $(a,b; l_1, l_2) =-1$. Ou seja, o feixe $(a,b; l_1, l_2)$ de centro $O$ é harmónico.
• O lugar geométrico dos pontos tais que é constante ($ k\neq 1$) a razão das suas distâncias a duas retas paralelas $a$ e $b$ é constituído por duas retas paralelas às dadas e com elas formando um feixe harmónico. E determina-se de um modo análogo ao usado com retas concorrentes.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 6º lugar geométrico da lista - pontos P tais que PA=k.PB, dados A, B e k≠1

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Os 3º e 4º lugares geométrico da lista eram defnidos como conjuntos de pontos $\;P\;$ a igual distãncia de dois pontos dados $\;A\;$ e $\;B\;$ - mediatriz de $\;AB\;$ - ou a igual distância de duas retas concorrentes $\;a\;$ e $\;b\;$ (bissetrizes dos ângulos $\;\angle \hat{a, b}.$
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para $\;k=1\;$ Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim $$\left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\}$$ e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
Quando as circunferências se intersetam temos pontos $\;P\;$ tais que $\;PA=PB. \;$ Um dos pontos do segmento $\;AB\;$ verifica essa condição: o ponto médio $\;M\;$ onde se tocam as circunferências de raio $\;\displaystyle \frac{AB}{2}\;$ centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
E se tomarmos $k\neq 1$?
VI. O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante $\;k>0 \wedge k\neq 1\;$ a razão das suas distâncias a dois pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ dados é a circunferência de diâmetro $\;IE, \;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ dividem $\;AB\;$ interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos $\;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}$?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:

1. Tomamos os pontos $\;A\;$ e $\;B,\;$ a reta $\;AB\;$, um seletor $\;d\;$ e um outro $\;k.\;$
2. Para um valor de $\;k, \;$ tomámos uma circunferência centrada em $\;B\;$ e de raio $\;d\;$ e outra circunferência centrada em $\;A\;$ e de raio $\;d.k$. Se estas circunferências se intersetarem em $\;C,\;$ este ponto está à distância $\;d\;$ de $\;B\;$ e $\;d.k\;$ de $\;A$. A razão das distâncias de $\;C\;$ a $\;A\;$ e de $\;C\;$ a $\;B\;$ é $\;k\;$ e $\;C\;$ será um ponto do lugar geométrico que procuramso determinar.
3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) está associado ao seletor $\;d$. Para um valor de $\;k$, para cada valor de $\;d\;$ (variável) obtemos $\;C\;$ e $\;D$, pontos do lugar geométrico referido a $\;A$, $\;B\;$ e esse valor de $\;k$. Os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$ deixam traço e pode acompanhar o desenho quando $\;d\;$ toma diferentes valores.
   

   © geometrias, 5 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. À semelhança do que aconteceu com o ponto $\;M\;$ médio de $\;AB\;$ para $\;k=1$, aqui também há um valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências $\;B(d)\;$ e $\;A(d.k)\;$ se tocam num ponto $\;I\;$ de $\;AB\;$ e um outro valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências se tocam num ponto $\;E$. Pode aproximar-se desses pontos deslocando o cursor $\;d$.
5. Para cada $\;k,\;$ estes $\;I\;$ e $\;E\;$ são os centros das homotetias de razão $\;\pm k\;$ que transformam $\;B\;$ em $\;A\;$ e as circunferências centradas em $\;B\;$ de raios $\;d\;$ nas circunferências centradas em $\;A\;$ de raios $\;d.k$
6. Na nossa construção, $\;\forall k>0 \; \; $ $ \;\frac{IA}{IB}=-k,\; \; \frac{EA}{EB}=k\; \;$ e $ \;\frac{AC}{BC}=k\;$ (razão entre os raios das duas circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ homtéticas de razão $\;k$):
   • $\;I\;$ divide internamente $\;AB\;$ em $\;AI\;$ e $\;IB$, sendo $\;AI=k.IB$.
   • $\;E\;$ divide externamente $\;AB\;$ em dois segmentos $\;AE\;$ e $\;EB,\;$ sendo $\;AE=k.EB$
7. Os pontos $\;I\;$ e $\;E\;$ separam harmonicamente $\;A\;$ e $\;B\;$, já que a razão dupla $$\;(AB, IE)=\frac{AI \times EB}{IB \times AE} = \frac{k}{-k} =-1$$ Para cada $\;(A,\; B,\; k)\;$, pode variar $\;d\;$ (e logo $\;C\;$), mantendo-se $\;I\;$ e $\;E\;$ inalterados. Estes pontos são os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo $\;\angle A\hat{C}B\;$ na reta $\;AB$, no triângulo $\;ABC\;$ em que $\;CA=k.CB$
8. Quer dizer que os pontos $\;C$: $\;CA=k.CB\;$ são do lugar geométrico que procuramos determinar e estão sobre a circunferência de diâmetro $\;IE$, já que $\;I\hat{C}E\;$ é um ângulo reto.
9. Para que a circunferência de diâmetro $\;IE\;$ seja o lugar geométrico que procuramos definir, só falta provar que qualquer ponto $\;P\;$ da circunferência de diâmetro $\;IE\;$ satisfaz a condição $\;\displaystyle \frac{PA}{PB}=k$. Sabemos que $\;I\;$ e $\;E\;$ satisfazem essa condição e que $\;(AB, IE) = -1$. O feixe de concorrentes $\;(PA, PB, PI, PE)\;$ é harmónico já que a secção por $\;AB\;$, $\;{A,B,I,E}\;$ é um quaterno harmónico, ou que $\;I\;$ é conjugado harmónico de $\;E\;$ relativamente a $\;A\;$ e $\;B$. Neste feixe harmónico, $\;PI \perp PE\;$ e, portanto, bissetrizes do ângulo $\;A\hat{P}B\;$. Por isso e por construção de $\;I\;$ e $\;E$: $$k=\frac{IA}{IB}=\frac{PA}{PB}$$
10. A esta circunferência de diâmetro $\;IE\;$ cujos extremos dividem $\;AB\;$ em segmentos cuja razão é $\;k\;$ chamamos circunferência de Apolónio para os pontos $\;A, \;B\;$ e valor $\;k$

Na construção, além de animar $\;d$, pode deslocar o ponto do seletor $\;k\;$ e verificar o que se passa quando $\;k\;$ toma diferentes valores, especialmente, quando $\;k\;$ toma o valor $\;1$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

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O 5º lugar geométrico da lista já foi usado em vários problemas ao longo dos anos.

V. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
Os primeiros cinco passos da construção que se segue determinam-se pontos que verificam as condições dadas e nos restantes organizam-se dados de uma possível construção demonstativa do que seja o lugar geométrico.

1. Começamos por mostrar, para além de um seletor [n], os dados: um segmento e seus extremos A e B; um ângulo α
2. Tomamos um ponto X a rodar em torno de A, ou seja, definidor de retas x a passar por A;
3. Marcamos uma reta r como segundo lado de um ângulo (xAr) igual a α ;
4. Por B tiramos retas paralelas a x e a r;
5. Essas quatro retas intersetam-se duas a duas em AQBP, sendo os ângulos por elas formados em P e Q iguais a α (alternos internos ou correspondentes em sistemas de retas paralelas cortadas por secantes), sempre que P está acima do segmento AB e Q está abaixo de AB.
6. Clicando sobre o botão de animação ao fundo à esquerda, ou movimentando manualmente o ponto X), obtemos pontos P e Q de que partem para A e B retas fazendo um ângulo dado α .

   Para acompanhar os passos da construção, desloque o cursor [n], do seletor, atendendo ao seguinte:

   © geometrias, 31 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

   Pode clicar sobre o botão ao cimo à diretia para voltar ao ponto de partida
7. A partir do passo 5, mostramos como habitualmente construímos com régua e compasso, este lugar geométrico.Começamos por construir sobre um dos extremos um ângulo BÂC=α como na figura. O centro O do arco que subtende o ângulo APB=α está na mediatriz de AB e na perpendicular a AC tirada por A:
   α=AÔC=BÂC por serem da mesma espécie e de lados perpendiculares AB⊥OC e AC⊥AO. Do mesmo modo se conclui que α=BÔC. E AÔB=2α Todos os ângulos inscritos na circunferência de centro O a passar por A e B nas condições descritas em que AÔB=2α
8. Obviamente que se APB não for reto, o lugar geométrico é formado por dois arcos, um da circunferência de centro em O e outro da circunferência e centro O' (imagem de O na reflexão de eixo espelho AB) ambas a passar por A e B. A e B não fazem parte do lugar geométrico já que nem o ângulo AAB nem ABB são iguais a α ≠ 0.
   Quando APB é reto, AB é diâmetro da circunferência e o lugar geométrico será constiuído por duas semicircunferências centradas no ponto médio de AB e abertas (já que A e B não são pontos do lugar geométrico relativo ao enunciado desta entrada ).

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Os 3º e 4º lugares geométricos da lista

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Os dois primeiros lugares geométricos referiam-se a pontos a uma dada distância de um ponto dado (o primeiro) e de uma reta dada (o segundo).
O terceiro e quarto referem-se aos pontos equidistantes de 2 pontos dados ou de duas retas dadas.

III. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (III) dos pontos a igual distância de dois pontos dados. Clique no botão de animação (ao fundo à esquerda) e seja paciente. Verá que

• o ponto médio M do segmento AB faz parte do lugar geométrico;
os pontos de interseção C e D das circunferências de iguais raios centradas em A e B, formam com A e B triângulos isósceles cujas alturas passam por M

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

IV. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.

Segue-se a construção que ilustra o lugar geométrico (IV) dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas. Use o botão de animação ao fundo à esquerda.

© geometrias, 26 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Lista de lugares geométricos básicos: uma ilustração.

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Os lugares geométricos da LISTA (de Eves) são os seguintes:

1. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de um ponto dado é a circunferência tendo o ponto dado como centro e a distância dada como raio
2. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta.
3. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é a mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos dados.
4. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes dadas consiste nas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas dadas.
5. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
6. O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a dois pontos A e B dados estão numa dada razão k≠1 é a circunferência de diâmetro IE, em que I e E dividem AB interna e externamente em segmentos na razão dada. (Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
7. O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão k é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas. O lugar geométrico (iv) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.
8. O lugar geométrico dos pontos para os quais a diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma reta perpendicular à reta determinada pelos dos pontos dados.
9. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Todas estas construções podem ser feitas com as reta e a circunferência postuladas por Euclides. Praticamente todas foram abordadas neste geometrias .   Em duas entradas recentes sucessivas, a construção (i) foi realizada primeiro só com circunferência e depois demonstrada com reta e circunferência.

Aqui está a construção que ilustra o lugar geométrico (II) dos pontos a uma distância dada de uma reta dada.

© geometrias, 24 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Visto esse, podemos avançar o seguinte: O lugar geometrico dos pontos a igual distância de duas retas paralelas dadas é uma reta paralela às retas dadas e a meia distância das duas (referido em terceiro lugar da lista de Birkhoff)
Em futuras entradas, ilustraremos e abordaremos com maior ou menor detalhe os restantes lugares da lista, bem como alguns lugares geométricos que usam algum (ou alguns) dos lg da lista .

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Método dos lugares geométricos para solucionar problemas de construção geométrica

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A "lugar geométrico" estão associados as noções de figura ou conjunto de pontos e de condição.
Um lugar geométrico é uma figura que inclui todos os pontos que satisfazem uma dada condição (ou condições) e só esses.
Um conjunto qualquer de pontos que satisfazem uma dada condição (ou que são soluções da condição) pode não ser considerado um lugar geométrico. Por exemplo: os pontos C e D, vértices dos dois triângulos equiláteros com uma base AB dada são equidistantes de A e de B, mas não constituem o lugar geométrico d(e tod)os pontos equidistantes de A e de B.
Dada uma condição, quando falamos do lugar geométrico dos pontos que a satisfazem estamos a considerar que se um ponto satisfaz a condição é ponto do lugar geométrico e qualquer ponto que não satisfaça a condição não está incluído no lugar geométrico.

Determinar um lugar geométrico é encontrar soluções de um problema de construção usando as regras básicas ou combinação de resultados conhecidos e demonstrados.

A solução de um problema de construção depende muito frequentemente da determinação de um ponto chave que pode ser solução de várias condições e pode ser obtido por várias construções conhecidas. O ponto chave de uma construção pode ser um ponto que satisfaz várias condições. Cada uma dessas condições, considerada isoladamente, restringe o ponto chave a um determinado lugar geométrico. E, por isso, o ponto chave é encontrado como interseção de certos lugares geométricos.
Ilustremos isso com um exemplo: o problema da construção da circunferência que passa por 3 pontos A, B, C. Para podermos desenhar essa circunferência, basta-nos determinar um ponto O que esteja a igual distância de A, B e C. Ou seja, um ponto O do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B e do lugar geométricos dos pontos equidistantes de B e C, por exemplo.

Aqui está a construção respetiva, cujos passos pode seguir deslocando o cursor n:

© geometrias, 22 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Este método de resolver um problema de construção é, e bem!, referido como o “método dos lugares geométricos”.
Para aplicar o método dos lugares geométricos a solucionar problemas de construção geométrica é preciso conhecer um número considerável de lugares geométricos construtíveis com as reta e circunferência postuladas ou compostas.
Três autores - Eves, Birkhoff e Altshiller-Court - apresentam listas diferentes de soluções de problemas básicos de construção geométrica que consideram úteis a quem vai usar o método dos lugares geométricos. Chamando a atenção para a necessidade de não só verificar a correção de cada um dos lugares geométricos como verificar a sua construtibilidades com os instrumentos euclidianos e a utilidade de uns na resolução de outros. Propoem ainda um grande conjunto de exercícios para usar alguns lugares geométricos da lista..
Um outro aspeto nos chamou a atenção nestas listas e nas suas diferenças. A enunciados diferentes, que nos pareciam equivalentes, correspondem os mesmos procedimentos de construção, mas lugares geométricos diferentes.
Disso daremos nota nas próximas entradas.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007

Construções e existência: o lugar geométrico como método?

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Nas entradas anteriores, já referimos exemplos de axiomas, definições e postulados. Quando aceitamos os postulados, estamos a aceitar que para cada dois pontos distintos

1. há uma linha reta que por eles passa;
2. há uma circunferência centrada num deles e a passar pelo outro

Isto é o que fundamentalmente interessa, para o nosso estudo de geometria no plano (euclidiano). Usaremos estas aparentemente simples regras para realizar construções, sempre que construímos algum objeto que satisfaz a uma determinada condição, não só temos uma definição como temos assegurada a existência do definido ou que não é vazio o conjunto dos seres que nomeamos e atribuímos propriedades.
Depois de fixar as regras, o que fizemos foi determinar novos pontos ou figuras (conjunto de pontos) satisfazendo uma condição ou mais.
Determinámos uma circunferência de que conhecíamos o centro e cujo raio intervalo (raio) era dado por outros dois pontos. Para resolver essse problema, só precisámos de recorrer à definição de círculo e ao postulado da circunferência e concentrámo-nos em determinar um ponto de entre os pontos da figura procurada. Esse problema foi feito só com a circunferência postulada. Depois voltámos ao mesmo problema, com recurso à reta (régua) postulada e à circunferência (compasso) postulada.
Podemos resolver problemas só com circunferência, só com reta, com reta e circunferência. E sempre que encontrarmos um processo de resolução com reta e(ou) circunferência que prove a existência de uma figura relacionada com outra ficamos com uma ferramenta composta de vários passos construtivos com as primitivamente postuladas. E acrescentamo-las como ferramentas admissíveis (ou atalhos) ao nosso argumentário construtivo. Esta referência serve para lembrar que uma demonstração de existência ou construção deve poder ser reduzida a argumentos correntes (falados ou escritos) com base em axiomas, poucas regras simples, definições e cadeia de proposições (afirmações verdadeiras,....).
Claro que há muitos problemas que não se resolvem só com as postuladas reta e circunferência de dois pontos e isso, só quer dizer , que há figuras que podemos definir, mas de que não conseguimos provar a existência por construção recorrendo a ferramentas compostas a partir das inicialmente postuladas reta e circunferências por 2 pontos. Sabemos assim que há definições a que podem não corresponder construções com as regras admissíveis.... É bom termos uma imagem como prova do definido, é bom e preciso termos um discurso que substitua a imagem e é bom saber que há critérios para determinar o que pode ou não pode ser feito com as combinações das ferramentas postuladas por Euclides.
Nas próximas entradas vamos ocupar-nos de figuras planas construtíveis com as regras postuladas, isto é vamos resolver problemas de construção, muitos deles já abordados neste lugar por uma ou outra razão. Mas não seguimos as proposições (e suas demonstrações) nos "Elementos".
Varios autores sugerem com insistência uma abordagem autónoma do que habitualmente é nomeado por lugares geométricos como um método de construção e insistem na necessidade de conhecer um grande número de lugares geométricos - retas e círculos - construtíveis, a partir dos quais se podem determinar outros.
Os autores apresentam listas básicas distintas em número e, interessante também, com enunciados diferentes para os mesmos lugares geométricos.
As duas construções apresentadas nas entradas anteriores resolvem, de maneiras diferentes, o mesmo problema. Do mesmo modo, sabemos que a construção de um triângulo isósceles com base dada é a mesma da mediatriz de um segmento, da perpendicular a um segmento no seu ponto médio, do conjunto dos pontos que são equidistantes de dois pontos dados, ...

Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

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Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:

© geometrias, 14 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

1. São dados três pontos O, A, B.
2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
4. A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.

Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.

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Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.

Instrumentos euclidianos

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As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

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No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.

Casos de simetria de figuras. Não caso da inversão/reflexão

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Chamamos simetria de um conjunto de pontos (ou figura) a qualquer isometria que transforma o conjunto de pontos (ou figura) em si mesma. As isometrias do plano que fixam um conjunto de pontos são as simetrias desse conjunto de pontos. O conjunto das simetrias de uma figura, munido da composição, é um grupo - grupo das simetrias da figura.

1. Dizemos que o hexágono regular (à esquerda) é uma figura simétrica pela reflexão de eixo (espelho) representado pela reta vermelha. Admite para além desse eixo de simetria, outros cinco. A imagem do hexágono pela reflexão é o hexágono; para cada reflexão são invariantes os pontos do eixo que a define. O ponto de interseção dos eixos de simetria é um centro de simetria: as rotações de n.60º com n inteiro, em torno desse ponto transformam o hexágono em si mesmo; o centro da simetria é invariante para todas as simetrias de rotação; as rotações de n.360º deixam invariantes todos os pontos do hexágono regular. A simetria de meia volta também é considerada como simetria central ou relativa à reflexão em relação ao centro: a cada P da figura corresponde um ponto P' colinear com P e O(centro) tal que OP=OP'
2. Os triângulos equiláteros da figura II têm 3 eixos de simetria, mas o hexágono (não regular) não. Mas é fácil verificar que esse hexágono tem um centro de simetria - rotação de n.120º, com n inteiro. Claro que estas simetrias de rotação do hexágono II não pode ser considerada uma simetria central no sentido descrito antes para a figura I.

© geometrias, 3 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Notas sobre a inversão (reflexão) que, não sendo isometria do plano, não é simetria de figura do plano:
Dada uma circunferência, por exemplo, haverá alguma inversão (reflexão relativa a uma circunferência) que seja simetria da circunferência? Sabemos que uma circunferência qualquer é imagem de si mesma por inversão relativa a qualquer das suas ortogonais. Mas não é isometria, logo não é uma simetria da circunferência. E qualquer circunferência é inversa de si mesma pela inversão relativamente a si mesma. Mas, mesmo neste caso, em que a restrição da inversão à circunferência de inversão inverte cada ponto em si mesmo, não estamos perante uma simetria já que a inversão não é uma isometria do plano.

Reflexões

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Tomámos duas retas perpendiculares e uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto de interseção das retas perpendiculares. As figuras restantes podem ser obtidas como transformados do polígono (cimo direita, com vértices verdes) por refexões relativamente às retas perpendiculares e à circunferência.

© geometrias, 26 dezembro 2013, Criado com GeoGebra

Deslocando os vértices do polígono (pontos verdes) pode variar o polígono original e observar as mudanças nos corrrespondentes pelas reflexões.

Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação $\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Lembramos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; y=x^2 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para $(x,y)=(0,0)$, a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de $O$. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal $Z (\infty)$. O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.

Coordenadas, equações e inversão (3. Elipse e hipérbole; lemniscatas)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão, a hipérbole de equação $\;\;\;\;x^2 - y^2 = 1 \;\;\;\;$ e a elipse de equação $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Já sabemos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da elipse (verde, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ 10x^2+y^2=10 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \Longleftrightarrow 10x^2+y^2=10\left(x^2+y^2\right)^2 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2 \Longleftrightarrow-100x^4-200x^2y^2 +100x^2-100y^2+10y^2=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da elipse que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

Do mesmo modo, se determina a equação da inversa da hipérbole (a azul): $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ x^2-y^2=1 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 \Longleftrightarrow -x^4-2x^2y^2+x^2-y^4-y^2=0 $$ sendo esta última a expressão apresentada na folha algébrica do geogebra para definir a curva inversa da hipérbole. As curvas obtidas para inversas da elipse e da hipérbole dadas têm equações das famílias das lemniscatas

1. elípticas: $\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2=b^2x^2+a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da elipse}\;\;10x^2+y^2=10\;: \;\;\; \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2$
2. hiperbólicas: $ \;\;\;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = b^2x^2-a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da hipérbole}\;\; x^2-y^2=1 \;:\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 $

As lemniscatas estão entre as - espíricas de Perseus - curvas obtidas como secções do toro por planos paralelos ao seu eixo. Estas classificações constam do "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" de F. Gomes Teixeira (na Biblioteca da José Estêvão, claro!).

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, a hipérbole ou a elipse, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão, da hipérbole e da elipse e as respetivas curvas inversas.

Coodenadas, equações, inversão (2. cónicas: hipérbole)

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Tomamos a hipérbole de equação $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x} \;\;\;\;$ ou $\;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=t \\ \displaystyle y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right.$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Como já vimos, pela inversão $I(O, 1)$, um ponto $P(x,y)$ é transformado noutro ponto $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.
No caso da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $$ P\left(x, \frac{1}{x}\right) \;\;\;\; \longmapsto \;\;\;\; P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+\frac{1}{x^2}}, \frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)$$ Parametricamente: $$ \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right. \;\;\; \longmapsto \;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{t^2 +\frac{1}{t^2}}\times t \\ y=\frac{1} {t^2+\frac{1}{t^2}}\times \frac{1}{t} \end{matrix}\right. $$ Esta última é a equação da curva inversa da hipérbole $\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}\;\;$, que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Se deslocar a hipérbole, pode observar que diferentes hipérboles têm por inversas curvas com diferentes formas.

Inversos de 5 pontos não definem a inversa da cónica por eles definida

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Como sabemos, 5 pontos distintos $A, B, C, D, E$ definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos $A', B', C', D', E'$ (obtidos por uma inversão $I(=O,1)$ ) inversos de $A, B, C, D, E$ não definem a inversa da cónica definida por $A, B, C, D, E$. Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar $\;\fbox{ n }\;$ no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)

© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos $A, B, C, D, E$ obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de $A, B, C, D, E$ (que pode mudar posição a posição de cada ponto)

Coordenadas, equações e inversão (1.retirculos)

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Consideremos um referencial ortonormado $xOy$ e uma circunferência de centro $O(0,0)$ e $\mbox{raio}=1$.
Seja o ponto $P(x,y)$ distinto de $O(0,0)$. Pela inversão $I(O,1)$, $P$ é transformado num ponto $P'(x',y')$ se se verificar que $\overrightarrow{OP} . \overrightarrow{OP'} = 1$, ou seja $P'$ está sobre a semirreta $\dot{O}P$ e $ \overline{OP'} = \displaystyle\frac{1}{\overline{OP}}$
Nestas condições

1. $\angle PÔP'$ é nulo e $\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OP'} =\overline{OP}\times \overline{OP'} = \sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{x'^2 + y'^2} =1$
2. $\overrightarrow{OP}=(x-0, y-0)=(x, y)$, $\overrightarrow{OP'}=(x', y')$ e $ \overrightarrow{OP'}=k.\overrightarrow{OP}$, sendo $k$ real não nulo ou $(x',y')=(kx, ky)$
3. Assim: $\sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} =1$ que é o mesmo que $k(x^2+y^2) = 1$ ou $$ k= \displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$$
4. Concluindo: Para a inversão $I(O,1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ distinto da origem é o ponto $$P'\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

Apoiados na construção que se segue, determinamos: (1) as coordenadas dos inversos de pontos dados pelas suas coordenadas, (2) equação da inversa de uma reta (que não passa por $O$, centro da inversão) dada por uma equação, (3) equação da inversa de uma circunferência (que não passa por $O$) dada pela sua equação.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue passo a passo as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Assinalam-se os pontos $A(\frac{3}{2}, 0)$, $B(0, 2)$ e $C(-2, -1)$ (e os seus inversos)
$\fbox{ n = 3}\;$: Apresenta-se a reta de equação $y=2x+1$ (e a sua inversa)
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresenta-se a circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$ (e a sua inversa)

© geometrias, 11 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Já vimos acima que a inversão $I(O,1)$, no plano cartesiano, fica bem definida por $$\left\{ \begin{matrix} x'=\frac{x}{x^2+y^2}\\ y'=\frac{y}{x^2+y^2} \end{matrix} \right.$$
Passe para $\fbox{ n = 2}\;:\;\;\;\;\;\;A=\left(\frac{3}{2}, 0\right) \longmapsto A'= \left(\frac{2}{3}, 0\right); \;\;\;\;\;\; B=(0, -2) \longmapsto B'=\left(0, -\frac{1}{2}\right); $ e $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; C=(-2, -1) \longmapsto C'= \displaystyle\left(\frac{-2}{5}, \frac{-1}{5} \right)$
Passe para $\fbox{ n = 3}\;$: A equação da inversa da reta (circunferência) $y=2x+1,\;\mbox{que não passa por } (0,0)\;\;\;x^2+y^2\neq 0$), será $$\frac{y}{x^2+y^2}= 2.\frac{x}{x^2+y^2} +1 \Longleftrightarrow y= 2x + x^2+y^2 \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-y=0 $$ ou $$(x+1)^2 +\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{5}{4}$$ $\mbox{circunferência que passa por} \; O\;\; \mbox{e corta} \;\;(O, 1) \mbox{onde a reta}\;\; y=2x+1\;\;$ a corta.

Passe para $\fbox{ n = 4}\;$: A equação da inversa da circunferência de equação $$(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04\;,$$ $\mbox{já que não passa por}\; (0,0) \; \; \mbox{ou para os pontos da qual se verifica}\;\;x^2+y^2 \neq 0$, será $$\left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2} - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{100} \Longleftrightarrow \ldots\\ \ldots \Longleftrightarrow \left(x-\frac{135}{100} \right)^2 +\left(y+\frac{108}{100}\right)^2=\frac{29}{100} $$

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A folha algébrica do GeoGebra permite verificar as equações... obtidas

Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)

3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
   $O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$

Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.

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© geometrias, 9 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (2)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer?(2)

2º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (exteriores uma à outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Para seguir os passos de cada construção a seguir apresentadas, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eT^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ não se intersetam. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_e$ da homotetia de razão positiva que transforma $(C_1)$ e $(C_2)$ para centro da inversão. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_eP$, se não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_e$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_e$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. Para que o inverso de $P$ relativamente a $O_e$ ser $P'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a esta tiradas pelo ponto $P$ a ela exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $PO_e$ em $P'$ com a circunferência de diâmetro $PO_e$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_e$ que transforma o ponto $P$ genérico de $(C_1)$ no ponto $P'$ de $(C_2)$ tem raio $O_eT$.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iR^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão negativa com centro $O_i$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_i$ que transforma $P$ num ponto $P'$ tal que $O_iP \times O_iP'= r^2$, estando $O_i$ entre $P$ e $P'$, tomamos uma circunferência de diâmetro $PP'$ e a perpendicular a $PP'$ tirado por $O_i$. Ficamos com o triângulo $PRP'$ retângulo em $R$, do qual $O_iR$ é a altura relativa a $R$ ou à hipotenusa $PP'$ $O_iR$ é a média geométrica de $PO_i$ e $O_iP$, ou seja, $O_iP\times O_iP'=r^2$ -
Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada, pela inversão acima determinada, na circunferência $(C_2)$.
3. Claro que, por $I(O_i, r^2)$ podemos determinar diretamente outra circunferência inversa de $C_1)$ que é a imagem da circunferência $(C_2)$ dada relativamente a $O_i$, como se pode ver a dado passo da construção feita.
4. Não usámos o método da tangente do caso anterior já que a circunferência de diâmetro $PO_i$ não corta a circunferência $C_2$ dada. Obviamente também não podíamos usar o método dos pontos de interseção das circunferências dadas, já que elas não se intersetam.
5. Este procedimento é equivalente a:
   • Determinar $O_i$ como centro da homotetia negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2$
   • Determinar a circunferência $(K)$ como imagem pela reflexão relativa a $O_i$ de $(C_2)$
   • Claro que $O_i$ é o centro da homotetia positiva entre $(C_1)$ e $(K)$ e calcular $r$ por algum dos métodos já utilizados: circunferência de centro $O_i$ e a passar pelos pontos de interseção das circunferências $(C_1)$ e $(K)$, ou pelo método das tangentes usado no caso em que recorremos à homotetia positiva que relaciona duas circunferências.

© geometrias,3 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (1)

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1º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Para quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ há sempre uma homotetia que transforma uma na outra, ou seja, duas circunferências quaisquer são homotéticas.
2. Na entrada Conservação de ângulos por inversão (2) provámos que A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. resultado que já foi utilizado na resolução de muitos problemas. Estudamos agora o problema de construção mais simples que consiste em utilizar este resultado para determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas, sabendo que o seu centro será o centro de uma homotetia entre elas.
3. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências intersetam-se. E, por isso, a circunferência de inversão terá de passar pelos pontos de interseção das circunferências (inversos de si mesmos) e com centro no centro da homotetia.
4. Apresentam-se duas construções que ilustram a determinação das circunferências de inversão com centros nos centros das duas homotetias que transformam $(C_1)$ em $(C_2)$, sendo estas circunferências concorrentes e de raios diferentes. Claro que se tivessem raios iguais, o centro da homotetia de razão positiva $O_e$ que não pertence ao segmento $C_1 C_2$ seria um ponto do infinito da reta dos centros.

Para seguir os passos de cada construção, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eK^2)$

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iK^2)$

Inverter segmentos de uma reta em segmentos iguais

Temos três pontos $A, B, C$ colineares. Procuremos definir a inversão que transforma $A, B, C$ em $A', B', C'$ de tal modo que $A'B' = B'C'$

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Como os pontos $A, B, C$ são colineares (sobre uma reta $a$). os seus inversos $A', B', C'$ ou são colineares ou são concíclicos.
2. Para que $A'B'$ e $B'C'$ sejam ambos segmentos de reta é necessário que $O$ seja colinear com $A, B, C$ ($O \in a$) e, em consequência, sobre $a$ também estarão $A', B', C'$, sendo $OA \times OA' = OB \times OB' = OC\times OC' =r^2$ se chamarmos $r$ ao raio da circunferência $(O)$ de inversão.
3. Qualquer que seja $O$ de $a$, para $A$ e $B$ de $a$, $\overrightarrow{OA} =\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'}$ e
   $$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}$$ $$(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{OA'} =\overrightarrow{OB}.(\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'})$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{A'B'}$$ $$A'B' = \frac{AB\times OA'}{OB} = \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}$$ Do mesmo modo, se relaciona $B'C'$ com $BC$: $$B'C' = \frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
4. Ser $A'B'= B'C'$ é o mesmo que $$ \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$ ou seja, $$\frac{AB}{OA}= \frac{BC}{OC} \;\;\mbox{ou} \;\; \frac{OA}{OC}= \frac{AB}{BC}$$ Ora a igualdade $$\;\;\displaystyle \frac{OA}{OC}= -\frac{BA}{BC}\;\;\;$$ verifica-se para o ponto $O$ de $a$ que é conjugado harmónico de B, relativamente a $AC$: $$(O, B; A, C)=-1$$

Fica assim demonstrado que a inversão que procuramos é relativa a uma circunferência de centro $O$, bem determinado e único para o terno de pontos $A, B, C$, e raio $r$ qualquer.

Para seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 26 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Triângulo qualquer pode ser invertido em triângulo retângulo

Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo?

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?

Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.

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Par seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
2. Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
3. Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
4. A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
5. $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$

Antiparalelas invertem-se em paralelas

Antiparalelas podem ser invertidas em paralelas

Se $A, B, C, D$ são quatro pontos tais que $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $AD$ e $BC$, então os quatro pontos podem ser invertidos em vértices de um retângulo

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Desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$ para acompanhar os passos da construção

© geometrias, 13 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:

1. São dados $A,B,C,D$ pontos de uma circunferência $(O)$.
2. As retas $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $BC$ e $AD$: $\angle ABC + \angle BCD = 180^o$ e $\angle ABC +\angle CAD = 180^o$.
3. Determinam-se as circunferências:
   • $(O_1)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $A$ e $C$: $O_1$ é a interseção da perpendicular a $AO$ com a mediatriz de $AC$
   • $(O_2)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $B$ e $D$.
4. $(O_1)$ e $(O_2)$ intersetam-se em $X$ e $Y$
5. Toma-se um deles para centro da circunferência de inversão (tracejada a vermelho) com raio $r$ qualquer; no caso tomámos a inversão $I(X,r^2)$
6. A inversa de $(O)$ é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OX$, reta que conterá um dos seus diâmetros.
7. Essa circunferência interseta $\;XA, XB, XC, XD\; $ em $\;A', B', C', D'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C, D$
8. $A'B'C'D'\;$ é um retângulo
9. Nota: Como $\;(O_1)\;$ passa por $A$ e $C$ a sua inversa é a reta $\;A'C'$. Do mesmo modo para $\;(O_2)\;$ cuja inversa é $\;B'D'$. O centro da circunferência inversa de $(O)$ está sobre $OX$, $A'C'$ e $\;B'D'$.

Inversão e antiparalelismo

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Dizemos que duas retas $\;a\;$ e $\;c\;$ são antiparalelas relativamente a duas $\;b\;$ e $\;d\;$ quando o quadrilátero formado pelas quatro retas $a,\; b,\; c,\; d\;$ for cíclico (com os vértices $\;a.b,\; b.c,\; c.d,\; d.a\;\;$ sobre uma circunferência)

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Se $A'$ e $B'$ são inversos de $A$ e $B$, então $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$ (dito de outros modos, $A, A', B, B'$ são vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência ou $A, A', B, B'$ são concíclicos ou os ângulos opostos do quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$ são suplementares)

@ geometrias, 10 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Por definição de $I(O, r^2)$, se a $A$ corrresponde $A'$ e a $B$ corresponde $B'$, $$OA\times OA'=OB \times OB'=r^2 \;\; \mbox{de onde decorre}\;\; \frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB} \;.$$ Por isso, os triângulos $\Delta OAB$ e $\Delta OA'B'$ são semelhantes, (caso $LAL$), pois os pares de lados correspondentes $(OB', OA)$ e $(OA', OB)$ de um ângulo igual $\angle AOB = \angle B'OA'$ são diretamente proporcionais.
Podemos assim, escrever que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB}$$ e $\angle OBA = \angle OA'B'$, opostos respetivamente de $OA$ e de $OB'$; $\angle OAB = \angle OB'A'$, opostos respetivamente de $OB$ e de $OA'$.
Finalmente, como $ \angle OAB$ é suplementar de $\angle BAA'$, este é suplementar de $\angle BB'A'$ e também por $\angle OBA$ é suplementar de $\angle ABB'$, este é suplementar de $\angle AA'B'$.
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices $A, A', B, B'$, em que os elementos de cada um dos pares $(A, A')$ e $(B, B')$ se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas $AB$ e $A'B'$ são antiparalelas relativamente a $AA'$ e $BB'$. $\hspace{0.5 cm}\square$