A construção da entrada de 16 de Janeiro de 2014, intitulada
Com compasso e régua euclidianos, transferir distâncias
cria o conceito correspondente ao compasso actual, ao demonstrar que com circunferências (definidas por um ponto e um intervalo) e as retas (definidas por dois pontos) se podem transferir distâncias (segmentos), isto é construir um segmento congruente a outro. Este conceito de compasso, correspondente a uma série de operações com retas e circunferências, passa a ser usado em futuras construções.
A proposição I.23 dos "Elementos" trata da transferência de um ângulo. Pode enunciar-se: Dados um segmento \,[AB]\; e um ângulo de vértice \;D,\; e lados \; DC, \; DE\; ou \; \angle CDE\;, construir um ângulo \;\angle BAH\; congruente com \;\angle CDE\;
Habitualmente segue-se o esquema:
- \;(D,\;r)\; e \;(A, \; r)\; congruentes (\;r\; qualquer)
- \;(D,\;r). \dot{D}C = {E}\;
- \;(D,\;r). \dot{D}E = {F}\;
- \;(A, \;r). \dot{A}B = {G}\;
- \;(D,\;r). \dot{D}C = {E}\;
- \;(G,\;EF)\;
- \;(G,\;EF). (A,\;r|) = {\ldots, \;H}\;
- \;AH\;
- \; AG =AH= DE=DF\; e
\; EF=GH\; -- cordas iguais correspondentes a arcos iguais de circunferências iguais (congruentes). \;(LLL) \rightarrow [GAH]=[EDF]\;\angle BAH = \angle GAH = \angle EDF = \angle CDE
- \; AG =AH= DE=DF\; e
A construção que pode fazer a seguir com as ferramentas euclidianas (únicas fornecidas) segue o raciocínio que apresentámos e que se resume a transferir distâncias, como deve ter observado. Se não quiser fazer a construção, pode seguir as etapas da construção (baseadas no esquema descrito na entrada citada acima) fazendo variar os valores de \; \fbox{n=i},\; i=1, 2, \ldots, \;6\;
@geometrias, 7 abril 2016, Criado com GeoGebra
Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.
Procuramos determinar um ponto \;H: \; \angle BAH = \angle CDE,\; usando só a circunferência e a reta, e a partir dos cinco pontos \;A,\;B,\;C,\;D,\;E.
- Partindo dos cinco pontos \; A,\; B,\;C, \; D,\; E,\; começamos por transferir \;AB\; para \;\dot{D}C\; e \;\dot{D}E\; a partir de \;D\;
- (D,DA), \; (A, AD)
- (D,DA). (A, AD) --> P : ADP é um triângulo equilátero
- \;(A,\;AB)\; e \;AP\;
- \;(A,\;AB).AP \rightarrow Q \; sendo \;AQ= AB\;
- \;(P, PQ=PA+AQ)\; e \;PD\;
- \;(P, PQ=PA+AQ) . PD\; \rightarrow R, sendo \;PR=PD+DR =PQ=PA+AQ,\; é \;DR=AB\;
- (D,DA), \; (A, AD)
-
- \;(D, \;DR)=(D, \;AB)\; e \;DE, \; DC\;
- \;(D, \;AB) . DC \rightarrow F \; sendo \;DF=AB\;
- \;(D, \;AB) . DE \rightarrow G \; sendo \;DG=AB\;
- \;(D, \;DR)=(D, \;AB)\; e \;DE, \; DC\;
- Já temos \;DCF=DEG= AB.\; Procuramos \;H: \; BH=FG\; o que é o mesmo que transferir \;FG\; para uma reta a passar e começando em \;B\;
- \;(F, \;FB)\; e \,(B, \;BF)\;
- \;(F, \;FB) . (B, \;BF) \rightarrow S
- \;BF=FS=SB \;
- \;(F, \;FG)\; e \;SF\;
- \;(F, \;FG) . \;SF \rightarrow T\; sendo \;FT=FG\;
- \; (S, \; ST)\; e \;SB\;
- \; (S, \; ST) . SB \rightarrow U\; sendo \;ST=SF+FT=SF+FG= SB+FG\; e \;SU= SB+BU.\; E, em consequência, \;BU=FG\; já que \;ST=SU\;
- \;(A, \;AB)\; e \;(B, \;BU)\;
- \;(A, \;AB) . (B, \;BU) \rightarrow H\; sendo \;BH=BU=FG\;
- E assim temos os ângulos \;\angle BAH = \angle FDG =\angle CDE. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; □
Comparando o trabalho feito com o compasso novo com este trabalho que recorre só ao compasso euclidiano, compreendemos um pouco melhor a genialidade na organização do estudo por Euclids, na construção de cada conceito (proposição-- problema de construção--, como prova de existência também de novas ferramentas). A partir de pontos, retas e circunferências a geometria de uma imensidão de construtíveis integrados… é um jogo que podemos jogar solitariamente, mas que partilhamos com prazer.
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martins. Geometric Constructions Springer.ew York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
- \;(F, \;FB)\; e \,(B, \;BF)\;
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