A proposição 43 do Livro I trata da divisão de um paralelogramo em quatro paralelogramos com um vértice comum sobre uma das suas diagonais sendo dois deles iguais em área. Veja-se a figura abaixo.
Toma-se um paralelogramo \;[ABCD]\; e escolhe-se uma diagonal, por exemplo, \;AC\, e um ponto \;K\; sobre ela. Por \;K\; tiramos uma paralela \,GH\; a \;AB\; e outra \;EF\; a \;AD.\; O paralelogramo fica dividido em 4 paralelogramos, a saber: \;HAEK,\; FCGK, \;GBEK, \; FDHK.\; Prova-se que os últimos dois, sombreados, são iguais em área.
Toma-se um paralelogramo \;[ABCD]\; e escolhe-se uma diagonal, por exemplo, \;AC\, e um ponto \;K\; sobre ela. Por \;K\; tiramos uma paralela \,GH\; a \;AB\; e outra \;EF\; a \;AD.\; O paralelogramo fica dividido em 4 paralelogramos, a saber: \;HAEK,\; FCGK, \;GBEK, \; FDHK.\; Prova-se que os últimos dois, sombreados, são iguais em área.
©geometrias, 14 abril 2016, Criado com GeoGebra
Pode mover \;A,\;B,\;C\; e \;K\; sobre a diagonal \;AC\;.
Por ser \;ABCD\; um paralelogramo (I.33) \;AB = CD \; \mbox{e} \; AD=BC. \; Por razões análogas, podemos dizer que \;AE=HK, \;AH=EK, \; FC=GK, \;CG=FK. \; Podemos por isso dizer que são congruentes os seguintes pares de triângulo (I.8: LLL): \;[ABC]= [CDA],\;[AEK] = [KHA], \;[KGC]=[CFK].\;
Aos dois triângulos \;[ABC],\; [CDA]\; iguais retiramos, respetivamente, \;[AEK],\;[KGC]\; e \; [KHA], \;[CFK]\; sobrando do primeiro triângulo \; [ABC]\; o paralelogramo \;[GBEK]\; e, do segundo triângulo \;[CDA]\;, o paralelogramo \;[FDHK].\;
Como de iguais subtraídos de iguais sobram iguais, \;[GBEK]\; e \;[FDHK]\; são iguais em área. □
Aos dois triângulos \;[ABC],\; [CDA]\; iguais retiramos, respetivamente, \;[AEK],\;[KGC]\; e \; [KHA], \;[CFK]\; sobrando do primeiro triângulo \; [ABC]\; o paralelogramo \;[GBEK]\; e, do segundo triângulo \;[CDA]\;, o paralelogramo \;[FDHK].\;
Como de iguais subtraídos de iguais sobram iguais, \;[GBEK]\; e \;[FDHK]\; são iguais em área. □
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martins. Geometric Constructions Springer.ew York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
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