Ao filósofo / médico / matemático grego Hipocrates de Cós (n. 460 A.C. em Cós -
f. 370 A.C. em Lárissa) é atribuído o estudo de várias figuras limitadas por por dois arcos de circunferências (dos quais um é semicircunferência e outro é um arco de circunferência correspondente à corda diâmetro da anterior) a que chamou lúnulas. Nesta entrada, procuramos ver que uma determinada lúnula (crescente) tem área igual a um dado quadrado.
Usando noções comuns, definições e teoremas de "Os Elementos" de Euclides,
determinar um quadrado com a mesma área de uma dada lúnula que tem como diâmetro do primeiro arco (semicircunferência) o lado do quadrado inscrito na circunferência do segundo arco.Fazendo variar os valores de \;\fbox{n}\; no cursor do topo à esquerda, pode seguir os passos da resolução/demonstração.
Usando noções comuns, definições e teoremas de "Os Elementos" de Euclides,
determinar um quadrado com a mesma área de uma dada lúnula que tem como diâmetro do primeiro arco (semicircunferência) o lado do quadrado inscrito na circunferência do segundo arco.
©geometrias, 12 maio 2016, Criado com GeoGebra
\fbox{n=1}\;\;\;\; Apresenta-se a lúnula em estudo e da qual intentaremos uma quadratura.
\fbox{n=2}\;\;\;\; As duas circunferências em causa são uma com centro em \;O\; e diâmetro \;AB\; e outra de centro em \;C\; e raio\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;AC\; circunscrita ao quadrado de lado \;A, \; no caso \;ABEF\;
\fbox{n=3}\;\;\;\; Na figura estão em evidência o quadrado \;ADBC\; inscrito na circunferência de centro \;O\; e diâmetro \;AB,\; o\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; quadrado \;ABEF\; inscrito na circunferência de centro \;C\; e raio \;AC\;
\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; O quadrado \;ADBC\; está dividido em dois (quatro) triângulos retângulos. Tomemos o triângulo \;ABC\; \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; retângulo em \;C\; e retenhamos que a área do quadrado de lado \;AB\; é igual à soma das áreas os quadrados \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; de lados \;BC\; e \;CA\; (I.47 - Teor. de Pitágoras)
\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Como \;BC=CA\; podemos dizer que a área do quadrado de lado \;AB\; é o dobro da área do quadrado de \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;lado \;BC\; (ou \;CA ): \; — AB^2 = 2 \times BC^2.\;
\;\mathfrak{area}[ABEF] = 2\times \mathfrak{area}[ADBC] \; \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; e, por isso, a razão entre as áreas dos círculos também será de 1 para 2: \;\mathfrak{area}(C,\;CA) = 2 \times \mathfrak{area}(O,\;OA) \;
\fbox{n=4}\;\;\;\; Na figura ilustramos as diferenças de cada um dos círculos para os seus quadrados inscritos para esclarecer\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; que se retirarmos à área de \;(C, \;CA)\; quatro áreas iguais a \;(AMBOA]\; ficamos com a área do quadrado\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[ABEF].\; De igual modo, acontece com \;(O, \;OA)\; e \;[ADBC].\;
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathfrak{area}(C,\;CA) - 4\times \mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area} [ABEF]\;\; que é o mesmo que
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2\times \mathfrak{area}(O,\;OA) - 4\times \mathfrak{area}(AMBOA] = 2\times \mathfrak{area} [ADBC],\; e dividindo por dois \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathfrak{area}(O,\;OA) - 2\times \mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area} [ADBC].\; E, porque
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathfrak{area}(O,\;OA) - 4\times \mathfrak{area}(ADA] = \mathfrak{area}[ADBC],\; é obvio que \;\mathfrak{area}(AMBOA] = 2\times \mathfrak{area}(ADA].\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Podemos concluir que \;\mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area}(ADA] +\mathfrak{area}(DBD] .\;
\fbox{n=5}\;\;\;\; Tirando \;\mathfrak{area} (AMBOA] \; à semicircunferência \;\mathfrak{area}(ADBO]\; ficamos com a \;\mathfrak{area}(ADBMA(\; da lúnula Por \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;outro lado, vimos que tirando \;\mathfrak{area}(BCB] +\mathfrak{area}(CAC]\; à semicircunferência \;\mathfrak{area}[AOCBCA)\; ficamos \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;com o triângulo retângulo \; \mathfrak{area}[ABC].\; Como iguais subtraídos de iguais são iguais (noção comum 3),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; podemos concluir que \mathfrak{area}(ADBMA( = \mathfrak{area}[ABC]
\fbox{n=6}\;\;\;\; E a área do triângulo \;[ABC]\; é obviamente igual à área do quadrado \;[AOCJ],\; por exemplo. Assim fica feita a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;quadratura do "crescente".
\fbox{n=2}\;\;\;\; As duas circunferências em causa são uma com centro em \;O\; e diâmetro \;AB\; e outra de centro em \;C\; e raio\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;AC\; circunscrita ao quadrado de lado \;A, \; no caso \;ABEF\;
\fbox{n=3}\;\;\;\; Na figura estão em evidência o quadrado \;ADBC\; inscrito na circunferência de centro \;O\; e diâmetro \;AB,\; o\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; quadrado \;ABEF\; inscrito na circunferência de centro \;C\; e raio \;AC\;
\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; O quadrado \;ADBC\; está dividido em dois (quatro) triângulos retângulos. Tomemos o triângulo \;ABC\; \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; retângulo em \;C\; e retenhamos que a área do quadrado de lado \;AB\; é igual à soma das áreas os quadrados \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; de lados \;BC\; e \;CA\; (I.47 - Teor. de Pitágoras)
\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Como \;BC=CA\; podemos dizer que a área do quadrado de lado \;AB\; é o dobro da área do quadrado de \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;lado \;BC\; (ou \;CA ): \; — AB^2 = 2 \times BC^2.\;
\;\mathfrak{area}[ABEF] = 2\times \mathfrak{area}[ADBC] \; \\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; e, por isso, a razão entre as áreas dos círculos também será de 1 para 2: \;\mathfrak{area}(C,\;CA) = 2 \times \mathfrak{area}(O,\;OA) \;
\fbox{n=4}\;\;\;\; Na figura ilustramos as diferenças de cada um dos círculos para os seus quadrados inscritos para esclarecer\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; que se retirarmos à área de \;(C, \;CA)\; quatro áreas iguais a \;(AMBOA]\; ficamos com a área do quadrado\\ \; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[ABEF].\; De igual modo, acontece com \;(O, \;OA)\; e \;[ADBC].\;
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathfrak{area}(C,\;CA) - 4\times \mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area} [ABEF]\;\; que é o mesmo que
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2\times \mathfrak{area}(O,\;OA) - 4\times \mathfrak{area}(AMBOA] = 2\times \mathfrak{area} [ADBC],\; e dividindo por dois \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathfrak{area}(O,\;OA) - 2\times \mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area} [ADBC].\; E, porque
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathfrak{area}(O,\;OA) - 4\times \mathfrak{area}(ADA] = \mathfrak{area}[ADBC],\; é obvio que \;\mathfrak{area}(AMBOA] = 2\times \mathfrak{area}(ADA].\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Podemos concluir que \;\mathfrak{area}(AMBOA] = \mathfrak{area}(ADA] +\mathfrak{area}(DBD] .\;
\fbox{n=5}\;\;\;\; Tirando \;\mathfrak{area} (AMBOA] \; à semicircunferência \;\mathfrak{area}(ADBO]\; ficamos com a \;\mathfrak{area}(ADBMA(\; da lúnula Por \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;outro lado, vimos que tirando \;\mathfrak{area}(BCB] +\mathfrak{area}(CAC]\; à semicircunferência \;\mathfrak{area}[AOCBCA)\; ficamos \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;com o triângulo retângulo \; \mathfrak{area}[ABC].\; Como iguais subtraídos de iguais são iguais (noção comum 3),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; podemos concluir que \mathfrak{area}(ADBMA( = \mathfrak{area}[ABC]
\fbox{n=6}\;\;\;\; E a área do triângulo \;[ABC]\; é obviamente igual à área do quadrado \;[AOCJ],\; por exemplo. Assim fica feita a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;quadratura do "crescente".
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martins. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
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