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11.12.16
1.7.15
Livro XIII: Construção de um octaedro inscrito numa esfera dada
Proposição 14:
Construir um octaedro inscrito numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é o dobro do quadrado da aresta do octadedro nela inscrito.
Passos da construção:
Nota: Pode utilizar as ferramentas (topo esquerdo - para deslocar a figura e vê-la de vários pontos de vista; topo direito - para desfazer ou refazer transformações da figura)
Demonstração:
Construir um octaedro inscrito numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é o dobro do quadrado da aresta do octadedro nela inscrito.
Passos da construção:
- Tomámos um segmento \;AB\; para eixo de um semicírculo gerador da esfera.
- Determinámos um ponto \;C \; de \;AB\; tal que \;AC=CB\;
- Assinalámos \;D\; na interseção da perpendicular a \;AB\; tirada por \;C\; com o semicírculo de diâmetro \;AB \;. Traçámos o segmento de reta \;DB\;
- Prolongámos \;CD\; e tomámos sobre essa a reta, a partir de \;C\; em sentido oposto ao de \;D,\; um segmento de comprimento igual \;AB\; e uma circunferência com esse segmento para diâmetro.
- No caso da nossa construção, tomámos um ponto \;E\; dessa circunferência e nela inscrevemos um polígono \;EFGH\; tais que \;EF = EG = FG=GH=DB\;. Podíamos ter tomado um outro quadrado de lado igual a \;DB\; em qualquer lugar do espaço. As opções tomadas só têm a ver com aspeto e tamanho da nossa construção.
- Sendo \;K\; o centro da circunferência, tirámos uma perpendicular ao plano da circunferência \;(EFGH)\; e sobre ela tomámos \;L\; e \;M,\; um de cada lado do plano de \;(EFGH)\;, tais que \;KL=KM=KE=KF=KG=KH\;
- Os 6 pontos \;E,\;F,\;G,\;H,\;L,\;M\; serão vértices de um sólido de 8 faces triangulares \;LEF,\;LFG,\;LGH, \;LHE,\;MEF, \;MFG, \;MFH, \; MHE,\; que duas a duas se intersetam em alguma das 12 arestas \;EF, \;FG, \;GH, \;HE, LE,\;LF,\;LG,\;LH,\;ME, \;MF,\;MG,\;MH.\; Traçamos tais arestas e faces.
© geometrias. 1 de julho de 2015, Criado com GeoGebra
Demonstração:
- Por construção, \;EFGH\; é um quadrado de lado igual a \;DB.\;E \;EK=FK=GK=HK=KL=KM\; sendo iguais os ângulos \;L\hat{K}E = M\hat{K}E = L\hat{K}F =M\hat{k}F = … = \;1 reto. Por isso, \;EK^2=LK^2, \; \; EL^2= 2\times EK^2. \; Do mesmo modo, \;EH^2=2 \times EK^2\; e, por isso, \;EL=EH\;. Pelas mesmas razões, \;LH = HE.\;. Assim, podemos concluir que o triângulo \;LEH\; é equilátero.
Podemos concluir que são equiláteros todos os restantes triângulos cujas bases são os lados do quadrado \;EFGH\; e o terceiro vértice opostos de cada base é \;L\; ou \;M\;. Isto quer dizer que construímos um sólido cujas faces são triângulos equiláteros iguais, ou seja, é um octaedro o que construímos. - Falta-nos provar que os vértices do octaedro construído são pontos da superfície esférica de diâmetro igual a \;AB.\; Assim provamos a seguir:
- Por construção, EF=FG=GH=HE=DB e, como vimos, os triângulos de bases \;EFL, \;FGL, \;GHL, \;HEL, \: EFM, \;FGM, \;GHM, \;HEM, \: são equiláteros de lados iguais a \;DB.\;
- Como \;LK, \;KM,\;KE\; são iguais, a semicircunferência desenhada de diâmetro \;LM\; também passa por \;E.\; E pela mesma razão, o semicírculo rodando em torno de \;LM\; fixo também passa pelos pontos \;F, G, H\; e o octaedro terá os seus vértices numa esfera de diâmetro \;LM.\;
- E dado que \;LK=KM\; e \;KE\; comum nos triângulos \;LKE\; e \;MKE\; ambos retângulos em \;\hat{K}\;, \;LE=EM\;
- E como, por construção \;L\hat{E}M\; é reto por estar inscrito num semicírculo de diâmetro \;LM, \; então \;LM^2= 2 \times LE^2\;
- E como, por construção, o triângulo \;ADB\; é retângulo em \; \hat{D}\; (inscrito no semicírculo) e \;AD=DB\; então \;AB^2=AD^2+DB^2, \; de onde retiramos que AB^2=2\times DB^2
- Por ser, como vimos, \;LE =DB\;, podemos dizer que \;AB^2=LM^2= 2 \times LE^2, de onde se conclui:
\;AB=LM\;\; e \;\;AB^2 = 2 \times LE^2
e também ficou provado que o quadrado de lado igual ao diâmetro de uma esfera dada é igual ao quadrado de lado igual à aresta do octaedro nela inscrito. □
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
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