Proposição 15:
Construir um cubo que se possa inscrever-se numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é triplo do quadrado da aresta do cubo nela inscrito.
Construção:
Temos agora de provar que esse cubo tem os vértices sobre uma esfera de diâmetro \;AB\; e que o quadrado de lado igual ao diâmetro da esfera é triplo do quadrado de lado igual à aresta do cubo.
Nota: Pode utilizar as ferramentas (topo esquerdo - para deslocar a figura e vê-la de vários pontos de vista; topo direito - para desfazer ou refazer transformações da figura)
Demonstração:
Construir um cubo que se possa inscrever-se numa esfera dada e mostrar que o quadrado do diâmetro da esfera é triplo do quadrado da aresta do cubo nela inscrito.
Construção:
- Seja \;AB\; o diâmetro de uma dada esfera (ou seja a esfera gerada pela revolução de um semicírculo em torno do seu diâmetro de comprimento \;AB\;)
- Dividimos \;AB\; em dois segmentos \;AC\; e \;CB\; tais que \;AC=2CB\;
- Tiremos por \;C\; uma perpendicular a \;AB\; e, no mesmo plano, tomemos \;D ,\; ponto de interseção dessa perpendicular com a semicircunferência de diâmetro \;AB\;
- Tracemos \;CD\; e \;DB.\; - \;A\hat{C}D=D\hat{C}B = 1\; reto
- Tomámos depois um ponto \;E\; e, a partir dele, construímos um quadrado \;EFGH\; de lado igual a \;DB\;.
- Em seguida, tirámos por \;E, \;F,\; G,\;H\; perpendiculares ao plano do quadrado \;EFGH\; e, sobre cada uma delas, tomámos um ponto de modo a obtermos \;EK, \;FL,\; GM,\; HN\; iguais a um dos segmentos \;EF, \; FG,\;GH,\;FE.\;
- Finalmente, desenhámos \;KL,\;LM,\; MN,\;NK.\;
Temos agora de provar que esse cubo tem os vértices sobre uma esfera de diâmetro \;AB\; e que o quadrado de lado igual ao diâmetro da esfera é triplo do quadrado de lado igual à aresta do cubo.
© geometrias. 1 de julho de 2015, Criado com GeoGebra
Demonstração:
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Tomamos \;KG\; e \;EG.\;Por construção \;KE\; é perpendicular ao plano \;EFG\; e é por isso, perpendicular a \;EG\; - \;K\hat{E}G\; é reto - o que quer dizer que a semicircunferência de diâmetro \;KG\; passa por \;E.\;
Como \;GF\; faz ângulos retos com cada uma das retas \;FL\; e \;FE\;, então \;GF\; também faz ângulos retos com o plano \;KEF\; e, por isso, também é reto o ângulo \;G\hat{F}K.\; E, portanto a semicircunferência de diâmetro \;KG\; também passará por \;F\; na sua rotação em torno de \;KG.\;
Iguais raciocínios nos permitem concluir que essa semicircunferência rodando em torno de \;KG\; passará por todos os vértices do cubo construído.
Assim, mantendo fixo \;KG\; a semicircunferência em revolução passa pelas mesmas posições desde que iniciou a rotação, o que quer dizer que o cubo está compreendido numa esfera de diâmetro \;KG.\;
Será que está compreendido na esfera dada? -
- Como \;GF=FE\; e \;G\hat{F}E\; é ângulo reto, então \;GE^2 =FG^2+FE^2 = 2\times EF^2.\; Mas como \;EF=EK\; então \;EG^2=2\times EF2\; e como o ângulo \;G\hat{E}K\; é reto, então \;KG^2= GE^2+EK^2\;. Podemos concluir que \;GK^2=2EF^2+EF^2=3EF^2\;
- Por terem ângulos iguais, cada um a cada um, os triângulos \;ADB\; e \;BCD\;, sabemos que \frac{AB}{DB}=\frac{DB}{BC} \; \; \; \text{que é o mesmo que} \; \; \; DB^2=AB\times BC e, como \;\displaystyle \frac{AB}{BC}= \frac{AB\times AB}{AB\times BC}\; sendo, por construção, \;\displaystyle \frac{AB}{BC}=3 \;\; \text{e}\;\; \frac{AB}{BC}=\frac{AB^2}{BD^2} \;\; \text{então} \;\; AB^2=3\times DB^2 Na Geometria de Euclides, este resultado aqui apresentado a partir algebricamente já foi demonstrado antes por métodos geométricos.... /ol> Fica assim provado que, por ser \;EF=DB\; e \;AB^2=3\times DB^2 podemos concluir que \;AB^2= GK^2\; e \;AB=GK. Ou seja o cubo construído é inscritível numa esfera de diâmetro \; AB\; dado.
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
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