Crescente equivalente a um triângulo

Um Crescente é equivalente a um triângulo

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um triângulo a um Crescente limitado por dois arcos circulares.

O enunciado do problema desta entrada é:
Demonstrar que um Crescente Vermelho (entre dois arcos) na figura é igual em área a um triângulo.

Para além da superfície que estudamos, apresentam-se inicialmente retas, segmentos e arcos que ajudam a compreender a construção e permitem determinar a sua área da superfície em estudo ou a compará-la com outras áreas. Na construção deve recorrer à barra de navegação para passos da construção e seguir etapas da construção e os raciocínios até à demonstração (acompanhados de fórmulas que não escondem o uso dos axiomas da igualdade em geral e neste caso de igualdade entre áreas)

1. Apresenta-se inicialmente uma circunferência de centro $\;O\;$ e diâmetro $\;AB\;$ e a mediatriz de $\;AB\;$ que intersecta a circunferência em $\;C, \;D.\,$

11 agosto 2017, Criado com GeoGebra

2. A seguir mostra-se a circunferência de centro em $\;D\;$ e raio $\;DA:\;$.
   Como $\;CD\;$ é a mediatriz de $\;AB,\;$ sabemos que $\;AD=BD;\;$ e, como $\;AB\;$ é diâmetro de $\;(O, \;OA)\;$ e $\;D \in (O,\;OA),\;$ o triângulo $\;ABD\;$ é rectângulo em $\;D\;$. Por isso, $\;AB^2= 2AD^2 .\;$ Claro que também podíamos ter usado o facto de $\;ODA\;$ ser triângulo rectângulo em $\;O\;$ para concluir que $\;AD^2 = 2OA^2\;$
3. O semicírculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OA\;$ que designamos por $\;\widehat{ACB}\overline{BA},\;$ neste passo evidenciado, tem área $$\; \frac{\pi\times OA^2}{2}= \frac{\pi \times 2.OA^2}{4} =\frac{\pi \times AD^2}{4}\;$$
4. Chamamos Crescente ao que sobra do semicírculo vermelho após retirarmos o segmento circular $\;\widehat{AB}\overline{BA}\;$ do círculo $\;(D,\;DA).\;$
   
5. O segmento circular referido tem área igual à área do que sobra do sector circular $\;D\widehat{AB}\;$ (quarto do círculo) $$\;\frac{\pi \times AD^2}{4}$$ depois de lhe retirarmos o triângulo $\;ABD\;$ rectângulo em $\;D\;$ de área $$\; \frac{AD^2}{2}$$
Por um lado a área do Crescente é igual à área do semicírculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OA\;$ $$\frac{\pi \times AD^2}{4}$$ subtraída da área do segmento que é, como vimos, $$\frac{\pi \times AD^2}{4} - \frac{AD^2}{2} $$ ou seja, $$ \mbox{Área do Crescente} = \frac{\pi \times AD^2}{4} - \left(\frac{\pi \times AD^2}{4} - \frac{AD^2}{2}\right)= \frac {AD^2}{2}= \mbox{Área do triângulo}\,\;\; ABD $$ como queríamos demonstrar.

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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947

Uma superfície limitada por três arcos circulares equivalente a um quadrado.

Uma superfície de gumes circulares equivalente a um quadrado

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um quadrado a uma superfície limitada por arcos de circunferências.
Tomamos um quadrado $\;ABCD\;$ e uma das diagonais, por exemplo, $\;BD\;$ e consideremos o arco $\;BD\;$ de centro em $\;A\;$ e os arcos $\;BGA\;$ - de diâmetro $\;AB,\;$ centro $\;E\;$ - e $\;AGD\;$ - de igual diâmetro $\;DA,\;$ e centro em $\;F\;$. Estes três arcos circulares limitam uma superfície (a vermelho na figura abaixo)
O enunciado do problema desta entrada é:
Demonstrar que a superfície a vermelho na figura é igual em área a um quadrado de lado $\;\displaystyle\frac{AB}{2}\;$ (um quarto do quadrado $\;ABCD)\;$.

Nota Daqui para a frente, por exemplo, estamos a usar $\;E, \widehat{AGB}\;$ para designar o semicírculo de diâmetro $\;AB\;$ ou $\;(A, \hat{BD})\;$ o arco de centro $\;A\;$ de extremos $\;B, \;D\;$ (quarto de circunferência na figura). Para além da superfície que estudamos, apresentam-se inicialmente retas, segmentos e arcos que ajuda a compreender a construção e permitem determinar a sua área da superfície em estudo ou a compará-la com outras áreas. Partimos dos seguintes dados:

• $\;ABCD\;$ são vértices de um quadrado;
• As diagonais $\;BD\;$ e $\;AC\;$ são perpendiculares e bissectam-se.
• O arco $\;\hat{BD}\;$ é um quarto da circunferência de raio igual ao lado do quadrado $\;ABCD\;$. O quarto do círculo correspondente tem área $$\; \frac{\pi\times AB^2}{4}\;$$
• Os arcos $\;\widehat{AGB}\;$ e $\;\widehat{AGD}\;$ das circunferências de diâmetros $\;AB\;$ e $\;AD\;$ são semicircunferências iguais. A área de cada um doss semicírculos correspondentes às semicircunferências é $$\; \pi \times \frac{\left(\frac{ AB}{2}\right)^2}{2} = \frac{\pi \times AB^2}{8},\;$$ metade da área do quarto de círculo de raio $\;AB.\;$

3 agosto 2017, Criado com GeoGebra

• Por isso $$\mbox{Área de} (E,\widehat{AGD})+\mbox{Área de} (F,\widehat{AGB})=\mbox{Área de} (A,\widehat{AB}),$$ $$(A,\widehat{AB})\setminus(F,\widehat{AGB})= (E, \widehat{AGD}) $$ Também sabemos que $\; (F, \widehat{AG}) = (F,\widehat{GD})= (E, \widehat{AG}) = (E, \widehat{GB})$. Basta agora olhar para $\;(F,\widehat{AGA});$ no lugar de $\;(E, \widehat{BGB})\;$ para vermos que o semicírculo de centro em $\;E\;$ e raio $\; \displaystyle \frac{AB}{2}= AE=EB=EG\;$ é assim composto: $$\;(E, \widehat{GAG}) \cup \;(E, \widehat{BGB}) \cup \Delta[BGA] \;$$ de conjuntos disjuntos igual à metade do quarto de círculo que contém toda a superfície vermelha acrescentada de um triângulo de base $\;AB\;$ e respectiva altura $\;EG\;$ cuja área é $$\frac{AB \times EG}{2} = \frac{\left(AB \times \displaystyle \frac{AB}{2}\right)}{2} = \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$ de um quadrado de lado igual a metade do lado do quadrado $\;ABCD.\;$

Usando o botão [mover peças], verá que a nossa superfície vermelha é equivalente à parte do círculo $\;(A, AB)\;$ entre a corda $\;[AB]\;$ e o arco $\;\widehat{AB}\;$ e que esta é igual em área ao quadrado de vértices $\;A, G\;$ opostos que também se pode ver quando a animação é concluída.

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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947

Uma superfície limitada por quatro semicírculos equivalente a um círculo.

A faca de sapateiro e o equivalente círculo.

Usar áreas para determinar invariância de comprimentos

Demonstração de igualdade de áreas de dois triângulos dentro de outro