Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e P_aP_bP_c os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HP_a;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HP_b;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HP_c.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.



[A.A.F.]

Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”




[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo antiórtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.



[A.A.F.]

Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



[A.A.F.]

Propriedade da recta de Gergonne

De um triângulo ABC, consideremos os dois triângulos EaEbEc dos exincentros e MaMbMc dos pontos médios dos lados. Existe uma homologia que transforma um no outro, cujo eixo é a recta de Gergonne.




A.A.F.]

Recta de Gergonne

No triângulo ABC, Ge é o seu ponto de Gergonne. Se determinarmos a sua polar trilinear, obtemos a “recta de Gergonne”.



[A.A.F.]

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




[A.A.F.]

Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



[A.A.F.]

Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo I_aI_bI_c dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A₁B₁C₁. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A₁B₁C₁ é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A₁B₁C₁ é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




[A.A.F.]

Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



[A.A.F]

Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



[A.A.F.]

Outra determinação do Ponto de Bevan

O circuncentro do triângulo dos exincentros I_a, I_b e I_c é o ponto de Bevan, o que é o mesmo que dizer que as mediatrizes do triângulo dos exincentros se intersectam no ponto de Bevan.

Ponto de Bevan

No triângulo ABC, tomemos os três exincentros I_a, I_b, I_c. Por cada um deles tiremos perpendiculares respectivamente aos lados a, b, c. As três perpendiculares intersectam-se num ponto: “ponto de Bevan” Bv.



[A.A.F.]

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:
O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares. [A.A.F.]

Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


[A.A.F.]

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



[A.A.F.]

Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo I_aI_bI_c dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de I_aI_bI_c; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice I_b, a simétrica da mediana I_bM_b' passa pelo ponto médio M_b do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de I_aI_bI_c basta, portanto, traçar as rectas I_aM_a,I_bM_b, I_cM_c. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" M_d.



[A.A.F.]

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


[M.I.H.B.S.]

Ponto de Euler

A recta e de Euler pode reflectir-se em cada um dos lados a=BC, b=CA e c=AB sendo as imagens de e por essa reflexão as retas e_a, e_b e e_c respectivamente. E estas têm um ponto comum designado por E - ponto de Euler.

Esta construção é, em certa medida e em parte, repetida na construção que se segue:

---

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' intersectam-se no ponto E de Euler.

Nota: As etapas 2 a 5 respondem ao enunciado acima. A etapa 6 chama-nos à atenção para o seguinte:
Se é verdade que as circunferências ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' têm um ponto comum, então,
também têm um ponto comum as circunferências A'B'C', A'BC, B'CA e C'AB que é o ponto E' = F de Feuerbach.

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



[A.A.F.]

Ponto de Fhurmann

Consideremos o triângulo ABC e o seu círculo circunscrito.
Tomemos sobre a circunferência A' ponto médio do arco BC, B' ponto médio do arco AC e C' ponto médio do arco AB.
Chama-se "triângulo de Fhurmann" ao triângulo A''B''C'', sendo A'' simétrico de A' em relação a BC, B'' simétrico de B' em relação a AC, C'' simétrico de A' em relação a AB,
O circuncírculo de A''B''C'' é o "círculo de Fhurmann" e o seu centro é o "ponto de Fhurmann.

[A.A.F.]

---

O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simétrico de O em relação a Sp.


[A.A.F.]

Ponto de Schiffler

Seja I o centro do círculo inscrito a [ABC]. Definamos os seguintes triângulos: [AIB], [AIC], [BIC].
Schiffler provou que as rectas de Euler dos quatro triângulos têm um ponto comum; designámo-lo por Sch.



[A.A.F]


e – recta de Euler do triângulo [ABC]
e1 – recta de Euler do triângulo [AIB]
e2 – recta de Euler do triângulo [BIC]
e3 – recta de Euler do triângulo [AIC]

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.



[A.A.F]

Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [M_aM_bM_c] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [M_aM_bM_c].



[A.A.F.]


Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam E_a, E_b, E_c os seus centros.
Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por e_a, e_b, e_c.
O triângulo formado pelas rectas e_a, e_b, e_c é homotético do triângulo medial de [ABC]; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



[A.A.F.]

Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke₁ de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’].
Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke₁.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke₂.



[A.A.F]

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke₁ e Ke₂ os pontos de Kenmotu e Br₁ e Br₂ os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K₁ e K₂ os inversos dos pontos de Kenmotu e Be₁ e Be₂ os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K₁, K₂, Be₁, Be₂ são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.


[A.A.F.]

Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke₁ e Ke₂.
Ke₁ e Ke₂ separam harmonicamente O e K.



[A.A.F.]

Pontos de Kenmotu

Tomemos as três cevianas do triângulo ABC que se intersectam em Vc1; as suas conjugadas isogonais intersectam-se num ponto Ke1, isogonal de Vc1 – “primeiro ponto de Kenmotu” . Procedendo de igual modo com Vc2 para determinar o seu isogonal, obtemos o “segundo ponto de Kenmotu”, Ke2. (Apenas se apresenta a construção de Ke1).


[A.A.F.]

Pontos de Vecten, Lemoine e outro

No triângulo ABC, os pontos K (de Lemoine) e N (centro do círculo de nove pontos) pertencem à recta definida pelos pontos de Vecten; os pontos Vc1 e Vc2 estão harmonicamente separados pelos pontos K e N. (Permitam-nos uma observação pessoal: não é espantosa esta tendência “gregária” dos pontos notáveis de um triângulo?! Há-de haver sempre vários na mesma recta ou na mesma circunferência, ou na mesma cónica e frequentemente a separarem-se em harmonia !).


[A.A.F.]

Segundo Ponto de Vecten

Tomemos agora os centos dos quadrados construídos interiormente sobre os lados a, b, c; sejam Q_a, Q_b, Q_c. As rectas AQ_a, BQ_b, CQ_c intersectam-se num ponto: segundo ponto de Vecten, Vc₂.
É o ponto X(486) do catálogo de Kimberling.


[A.A.F.]

Primeiro Ponto de Vecten

Dado um triângulo ABC, tomemos os centros dos quadrados construídos exteriormente sobre os lados a, b, c; sejam Pa, Pb, Pc. As rectas APa, BPb, CPc intersectam-se num ponto: primeiro ponto de Vecten, Vc₁.
É o ponto X(485) do catálogo ETC de Kimberling.


[A.A.F.]

Segundo triângulo de Brocard

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.

As simedianas do triângulo intersectam-se em K, como vimos. E, portanto, intersectam o primeiro círculo de Brocard em K e em mais três pontos: A₂, B₂, C₂. Estes três pontos definem o “segundo triângulo de Brocard”. Estes três pontos também se situam sobre o círculo de Brocard.
O círculo de Brocard é, assim, o “círculo dos dez pontos”: O, K, Br₁, Br₂, A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂.



Os dois triângulos de Brocard são homológicos, por uma homologia de eixo e. O centro da homologia é a intersecção das rectas A₁A₂, B₁B₂ e C₁C₂ que é afinal o centro de gravidade do triângulo ABC.

Círculo e primeiro triângulo de Brocard

Projectemos o ponto K de Lemoine sobre as mediatrizes dos lados do triângulo: sejam A₁, B₁, C₁ essas projecções. Os triângulos [A₁BC], [B₁CA], [C₁AB] são isósceles (o vértice definido pelos lados iguais pertence à mediatriz da base) e a medida dos ângulos (iguais) da base é u.

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B1₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.



[A.A.F.]

Segundo Ponto de Brocard

Conhecido Br₁ - primeiro ponto de Brocard, ficamos a conhecer a medida do ângulo ∠ u. Assim podemos determinar a posição do
“segundo ponto de Brocard”, Br₂.
Um processo mais expedito para obter Br₂ é o seguinte: sabe-se que as projecções ortogonais dos pontos Br₁ e Br₂ sobre os lados do triãngulo são concíclicos; projectamos ortogonalmente Br₁ sobre a, b, c; a circunferência definida pelos três pontos intersecta a, b, c em outros três pontos que são as projecções de Br₂.



[A.A.F.]

Pontos de BROCARD

Brocard encontrou dois pontos referentes ao triângulo [ABC] (sejam Br₁ e Br₂), tais que verificam a seguinte propriedade:
São iguais os ângulos ∠ Br₁AB = ∠ Br₁BC =∠ Br₁CA = ∠ Br₂AC = ∠ Br₂CB = ∠ Br<sub>2vBA = u.

O ângulo ∠u é o “ângulo de Brocard”; a recta definida pelos pontos Br1 e Br2 é a “recta de Brocard”.


[A.A.F.]


Um dos modos de obter o “primeiro ponto de Brocard”, Br1, é o seguinte:
- tracemos três circunferências:
- de corda [AB]; centro na mediatriz de AB; tangente a BC em B;
- de corda [BC]; centro na mediatriz de BC; tangente a AC em C;
- de corda [CA]; centro na mediatriz de CA; tangente a AB em A.
O “primeiro ponto de Brocard” é a intersecção das três circunferências.</sub>

Ponto isogonal do ponto do infinito de uma recta

Determinar o ponto, R, isogonal do ponto do infinito da recta r relativamente ao triângulo ABC.
As isogonais das rectas paraleltas a r tiradas pelos vértice A, B e C, têm um ponto comum, R, que é o isogonal do ponto do infinito de r.

Triângulos inversamente semelhantes

Dado o triângulo ABC, sejam V₁ e V₂ os seus pontos de Fermat e W₁ e W₂ os pontos isodinâmicos. Os triângulos [V₁V₂W₁] e [V₁V₂W₂] são inversamente semelhantes. De facto, são iguais os ângulos ∠V₁V₂W₂ = ∠ W₁V₁V₂, etc



[A.A.F.]

Pontos Isodinâmicos e de Napoleão

Recordemos que para obter os pontos isogónicos (ou de Fermat), W₁ e W₂, construímos triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo ABC exteriormente (interiormente) e unimos o ápice de cada um com o vértice oposto. Para obter os pontos de Napoleão, Np₁ e Np₂, unimos os centros dos triângulos externos (internos) com os vértices opostos.



[A. A. F.]

Verifica-se que:
- as rectas W₁Np₁ e W₂Np₂ se intersectam no ortocentro H;
- as rectas W₁Np₂ e W₂Np₁ se intersectam no ponto médio do segmento definido pelo circuncentro O e pelo centro do círculo de nove pontos N.

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

• os simétricos de A relativamente a BC (A₂), de B relativamente a AC (B₂) e de C relativamente a AB (C₂);


• os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A₁, B₁ e C₁ ou internamente A_1*, B_1* e C_1*

As rectas A₁A2, B₁B₂ e C₁C₂ encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A_1*A₂, B_1*B₂ e C_1*C₂ encontram-se no outro.




[A.A.F.]

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.

Mais propriedades do ponto isodinâmico

Cada ponto isodinâmico forma com os três vértices do triângulo [ABC] um quadrângulo isodinâmico: é constante o produto dos comprimentos dos lados opostos.



O transformado por inversão do triângulo [ABC] em relação a um dos seus pontos isodinâmicos é um triângulo equilátero.



Dado um triângulo ABC e a sua circunferência circunscrita, tomemos para centro de uma projecção um dos pontos W isodinâmicos do triângulo. Nesta projecção, os vértices do triângulo ao serem projectados sobre o circuncírculo dão vértices de um triângulo equilátero.

PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;


construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Apolónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.

Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.

O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.

---

O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.
Na construção seguinte, deslocando o cursor do topo (n=1 a 8), pode ver cada uma das etapas com que pretendemos ilustrar as afirmações anteriores. No último passo - n=8 - pode deslocar ou variar as posições dos pontos K e L da circunferência circunscrita a que correspondem (por homotetia de centro X55) pontos da circunferência inscrita M e N.....


O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.

Mais propriedades do Ponto Lemoine

• Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.
  
  Na construção que se segue, pode acompanhar as etapas deste novo processo de determinar o ponto Lemoine de um dado triângulo Δ[ABC].

  ---

  
  
  
  Vale a pena demonstrar que esse ponto K, assim obtido, é o Ponto Lemoine do triângulo Δ[ABC].



• O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).



Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como se pode ver na construção que se segue, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.

Assim conhecemos uma outra forma de determinar o ponto de Lemoine de um triângulo ABC como ponto de intersecção dos segmentos que unem os pontos M_a, M_b e M_c médios, respectivamente dos lados a=BC, b=CA e c=AB e os pontos Mh_a, Mh_b e Mh_c médios das respectivas alturas tiradas por A, B, C, a saber AH_a, BH_b e CH_c.

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Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:

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• As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.


• A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.


• O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.


• As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.





• As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




[KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice. Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando M_a, M_b, M_c as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'_a, M'_b, M'_c), obtemos |MM_b|.|M'M'_b|=|MM_c|.|M'M'_c|, como pode confirmar na construção que se segue:




As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.

Recíproco do Ortocentro

Ao recíproco do Ortocentro damos o nome de Retrocentro. Assim:



Interessante é verificar que o Retrocentro e os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel (recíprocos) são colineares. Como pode ver na construção seguinte:

Pontos recíprocos

Tomemos três cevianas do triângulo [ABC] que passam por um ponto P. Verifica-se que as suas conjugadas isotómicas se intersectam num ponto P’. Os pontos P e P´dizem-se “pontos recíprocos”.

---

Exerício interactivo: Determinar o primeiro ponto de Gergonne do triângulo [ABC] e o seu recíproco.





Determinado o ponto de Gergonne e o seu recíproco, verifique que esse recíproco coincide com o ponto de Nagel determinando o ponto de Nagel. Não é curioso? Em cada lado do triângulo, os pontos de tangência do incírculo e do exincírculo são simétricos relativamente ao ponto médio do lado.

Pontos isotómicos. Rectas isotómicas

Dois pontos situados num lado de um triângulo dizem-se “isotómicos” se forem simétricos em relação ao ponto médio desse lado. Duas cevianas que passam pelo mesmo vértice, dizem-se “conjugadas isotómicas” se intersectam o lado oposto em pontos isotómicos. Os pontos D e D’ são isotómicos. As rectas d e d’ são conjugadas isotómicas.

Colineares - recta de Euler - e concíclicos - círculo de Feuerbach;

No triângulo [ABC] tracemos as medianas AMa, BMb e CMc que se intersectam no baricentro G
Como é bem conhecido: o triângulo [MaMbMc] tem os lados ordenadamente paralelos aos do triângulo [ABC]; [ABC] e [MaMbMc] são homotéticos: o centro de homotetia é G e a razão é 1/2.

Os pontos notáveis de [MaMbMc] são homotéticos dos pontos notáveis correspondentes de [ABC]. G, como centro de homotetia, é baricentro de ambos os triângulos. O ortocentro H de [ABC] é homotético do ortocentro de [MaMbMc] que, como é óbvio, é o circuncentro O de [ABC]. Concluímos assim, como já vimos há tempos, que os pontos G, H, O são colineares (“recta de Euler”) e, atendendo à razão de homotetia, |HG| = 2 |GO|.

O circuncentro O de [ABC] tem por homotético o centro F da circunferência definida pelos pontos Ma, Mb, Mc. Ora como vimos (nos artigos sobre lições de Geometria Métrica de Puig Adam Pontos e rectas notáveis de um triângulo e Teorema de Feuerbach), trata-se do “círculo de Feuerbach”. Sendo assim, F pertence também à recta de Euler e é |OG| = 2|GF|. Então F é o ponto médio do segmento [HO]. Atendendo à constância das razões que é possível obter, concluímos que (HGOF) formam um quaterno harmónico.




Recordamos ainda que o círculo de Feuerbach é também designado por “círculo dos nove pontos”: além de Ma, Mb, Mc, contem ainda os pés Ha, Hb, Hc das alturas e os pontos médios dos segmentos definidos por H e cada um dos vértices A, B, C.
O círculo de Feuerbach é tangente ao incírculo e aos ex-incírculos. Os quatro pontos de contacto são os “pontos de Feuerbach”.

Consideremos o triângulo [A₁B₁C₁], em que cada lado está sobre a paralela a um lado do triângulo [ABC] tirada pelo vértice oposto.

O incentro I de [ABC] tem por homotético o incentro de [A₁B₁C₁]. Tal ponto é o nosso conhecido “ponto de Nagel” N. Atendendo à homotetia, os pontos G, I, N são colineares e NG = 2 GI.

Os spliters e o primeiro ponto de Nagel

Ricardo Portugal enviou-nos uma mensagem em que escrevia: (...) terminei (...) a minha monografia de fim de curso que aborda alguns temas de geometria euclidiana pouco divulgados, nomeadamente cleavers e spliters. (...) Não sei como se costuma fazer para que os temas sejam publicados no fórum, o que gostaria de saber é se haveria hipótese de publicar o meu trabalho, ou pelo menos partes dele, para serem discutidas, (...) seria uma forma de divulgar alguns resultados de geometria euclidiana recentes.
Aceitamos todas as sugestões e o Ricardo Portugal enviou a sua monografia (Portugal; Ricardo Filipe Marques. Geometria Euclidiana - Cleavers and Spliters. 2008 (baseada na obra de Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry). Agradecemos a sua confiança e apoio. Aos interessados na monografia de Ricardo Portugal e na sua discussão, sugerimos que cliquem sobre o nome do autor para o contactar.

Alguns dos resultados do tema que estamos a publicar actualmente (sob direcção de Aurélio Fernandes, como quase sempre) estão abordados na monografia de Ricardo Portugal e, seguindo o conselho de Ricardo, divulgamos os termos em uso (spliters, por exemplo. Alguns destes resultados já apareceram e foram abordados em artigos anteriores.

O resultado seguinte trata da recta que passa por um vértice A de um triângulo [ABC] e pelo ponto F de [BC], ponto de tangência do círculo ex-inscrito. A uma ceviana assim definida dá-se o nome de spliter por ser verdade que |AB|+|BF|=|AC|+|CF|(o perímetro fica dividido em duas partes de igual medida). Split significa divisão, cisão, ruptura. Talvez por não haver uma palavra única em portugês que traduza spliter é que não se encontre designação equivalente em obras portuguesas.

A construção seguinte, em que pode provocar variações, permite-lhe confirmar que [AF] é um spliter de [ABC], resultado de que está escrita a demonstração. Claro que, em cada triângulo há 3 spliters deste tipo.




Ricardo Portugal utiliza este resultado para provar a existência do primeiro ponto De Nagel, com recurso ao Teorema de Ceva. Mais ou menos assim:





Por AF ser spliter a₂+b₁+b₂é um semiperímetro
E a₁+a₂+b₁ é também semiperímetro do triângulo já que BE é também spliter do mesmo triângulo.
De a₁+a₂+b₁=a₂+b₁+b₂, sai que a₁=b₂.

De modo análogo, se conclui que b₁=c₂ e a₂=c₁

a₁ /b₂=1, b₁/c₂=1 e a₂/c₁=1

(a₁/b₂)(b₁/c₂)(c₁/a₂) =1

(a₁/a₂)(b₁/b₂)(c₁/c₂) =1

(|BF|/|CF|).(|CE|/|AE|).( |AD|/|DB|) =1

E assim fica claro que estas cevianas AF, BE e CD verificam o teorema de Ceva e, por isso, se intersectam obrigatoriamente num ponto - o primeiro ponto de Nagel....

Os outros pontos de Nagel

Pelo meu lado, nem todos os pontos notáveis interessam. Nas mais importantes enciclopédias (outras línguas, outras línguas) não vi referência nem construção dos pontos de Nagel. Enquanto que os 4 pontos de Gergonne aparecem várias vezes referidos e as construções aparecem desenhadas, tal não acontece com os pontos de Nagel. Pareceu-me que na sua definição havia uma bela "mestiçagem". De facto, os pontos de Nagel não aparecem como intersecção de 3 rectas tiradas dos vértices para pontos dos lados opostos, como acontecia com os pontos de Gergonne, todos eles pontos de tangência dos círculos inscritos ou exinscritos. No caso dos pontos de Nagel, assim não é: De dois vértices conduzem-se rectas a passar pelos pontos de tangência dos ex-incírculos nos seus lados opostos, mas a terceira recta é tirada do terceiro vértice para o ponto de tangência do círculo inscrito, ou de outro modo a recta tirada do terceiro vértice para o primeiro ponto de Geergonne. De acordo com a nossa bela enciclopédia italiana, antes referida, que não faz qualquer construção ou desenho e usa notações que só a eles lembrou.
No artigo de ontem, assim ficou. Parecia-me tudo sossegado. Mas, durante a noite, recebi mensagens da Mariana (acompanhada do desenho) e do Aurélio (acompanhada de manifestações de apoio). Como as cevianas são, para efeitos deste blog, aurelianas, declaro-me vencido.
Aqui fica a construção da Mariana com os restantes pontos de Nagel:

Ponto de Nagel

As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto de cada círculo ex-inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Nagel”.
À semelhança do que aconteceu com os pontos de Gergonne, também consideramos mais três pontos de Nagel.

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O ponto de Nagel de um triângulo [ABC] está sobre a recta definida pelos seus incentro e baricentro. E mais: |NG|=2|IC|.
Se, na construção interactiva que juntamos, deslocar A, B ou C, pode ver que este resultado se mantém para cada triângulo.

Pontos de Gergonne

CEVIANAS TRIVIAIS

São bem conhecidas da geometria básica as alturas – ortocentro, as bissectrizes – incentro, as medianas – baricentro.

A demonstração de que, cada um destes três conjunto de cevianas se intersectam num ponto, pode fazer-se provando que verificam o teorema de Ceva.

PONTO de GERGONNE
As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto do círculo inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Gergonne”.
Note-se que ponto de Gergonne é o ponto de Brianchon relativo ao hexalátero degenerado circunscrito ao círculo, formado pelos três lados a, b, c e os pontos de contacto.
É possível definir pontos de Gergonne relativamente a cada um dos três ex-incírculos (circunferências ex-inscritas).

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Propunha-se: Dado o triângulo [ABC], determinar os seus quatro pontos de Gergonne.

Teorema de CEVA

Estava o teorema de Menelau por completo esquecido, quando, cerca de mil e quinhentos anos mais tarde, o geómetra italiano Giovanni Ceva (1647-1734) o descobriu e lhe deu mais ampla aplicação, na sua obra De lineis rectis, ao estabelecer uma condição para que três cevianas de um triângulo tenham um ponto comum.
Comecemos por recordar o conceito de ceviana: trata-se de um segmento de recta que liga um vértice do triângulo a um ponto da recta a que pertence o lado oposto correspondente.



[A.A.F.]


A demonstração resulta da aplicação do teorema de Menelau a dois triângulos:
- ao triângulo [ACF] intersectado pela transversal EB
- ao triângulo [FCB] intersectado pela transversal DA
o produto membro a membro das relações obtidas conduz à expressão acima.

De volta aos triângulos

Regressamos a um tema inesgotável – TRIÂNGULOS ! É nossa intenção seguir o seguinte plano:

1. pontos notáveis;
   
2. rectas notáveis;
   
3. círculos notáveis;
   
4. cónicas notáveis.
   

Como o tema é… inesgotável, claro que não vamos tratar de “todos” os ponto, “todas” as rectas, “todos” os círculos, “todas” as cónicas. Apenas daremos mais alguns passos.

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Tomaremos como base principal uma obra de 1937 que actualmente é pouco conhecida e difícil de encontrar: “Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi”, artigo redigido por Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero e intitulado “La Geometria del Triangolo”

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TRIÂNGULOS - PONTOS NOTÁVEIS

Menelau (séc I dC) foi um dos grandes da Escola de Alexandria; da sua vasta obra actualmente apenas se fala no teorema a que se dá o seu nome. Notemos que Melenau procedeu à extensão deste resultado a triângulos esféricos, facto notável para a sua época!
Na construção que se segue, relativa ao teorema de Menelau, pode movimentar os pontos e verificar os cálculos de razões. Verificará que ao movimentar A, B ou C as razões variam e verá porque é que o produto é 1. Verificará que, para cada triângulo [ABC], elas se mantêm invariantes se deslocar os pontos da recta que atravessa o triângulo.

A afinidade generaliza Napoleão.

Generalização do Teorema de Napoleão
Será que os baricentros de n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre cada um dos lados de um dado n-ágono formam por sua vez um outro nágono regular?

Teorema de Thébault
Thébault demonstrou que para um paralelogramo os baricentros dos quadrados construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados formam sempre um outro quadrado .

Ora, o triângulo e o paralelogramo são exemplos de polígonos regulares afins, isto é, polígonos que são sempre imagem por uma transformação afim de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente.

Teorema de Barlotti
Em 1955, Barlotti, demonstrou que: Dado um n-ágono qualquer, se este for imagem por uma transformação afim de um n-ágono regular, então o n-ágono formado pelos baricentros dos n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados é um n-ágono regular



[A.A.F.]

É interessante mover o ponto A’ mudando a direcção da afinidade e observar quando A’,B’,C’ e D’ são colineares ou quando estes coincidem dois a dois.

Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.



[A.A.F.]
[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima.
Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.

Napoleão?

Tracemos: - o triângulo equilátero de base AB, centro Z e o arco de corda AB e centro Z;
- o triângulo equilátero de base BC, centro X e o arco de corda BC e centro X;
- o triângulo equilátero de base CA, centro Y e o arco de corda CA e centro Y.

Tomemos um ponto qualquer D sobre o arco de corda BC e um segmento DE que contenha o vértice C do triângulo dado.
Verifica-se que:
- EA e DB se instersetam num ponto F do arco AB e centro Z;
- o triângulo [DEF] é equilátero.




[A.A.F]

Napoleão revisitado

1. Os centros dos triângulos [GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, coincidem com o centro do triângulo inicial [ABC].


2. A diferença entre as áreas dos triângulos[GHI] e [XYZ], externo e interno de Napoleão, é igual à área do triângulo inicial[ABC].

Na construção que se segue, pode sempre movimentar os pontos A, B e C e confirmar estas propriedades.

[A.A.F.]

Teorema de Napoleão

Se tomarmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros desses triângulos equiláteros são vértices de um triângulo equilátero.

Na construção dinâmica que se segue, construíram-se triângulos equiláteros [BCD], [ACE] e [ABF]. O triângulo [GHI] é equilátero.
Do mesmo modo, é equilátero o triângulo [XYZ] em que X é o centro de [BCT], Y é o centro [ACU] e Z é o centro de [ABV]-



[A.A.F.]

Pode movimentar A, B ou C e ver como a propriedade persiste. Tem interesse ver o que acontece quando A, B e C ficam alinhados ou quando dois destes pontos coincidem.

A animação das tangentes à parábola

Publicámos recentemente dois artigos Tangentes a cónicas - caso da elipse e da hipérbole e Tangentes a cónicas - caso da parábola em que procurávamos dar conta dos esforços da Mariana Sacchetti para mostrar como o processo da determinação das tangentes tiradas por um ponto P à circunferência passa para a determinação das tangentes às outras cónicas. Se animação para os casos das tangentes à elipse e à hipérbole tinham sido conseguidas, já o mesmo não podíamos dizer do caso da parábola.
Esta falta de animação com a parábola é suprida pela publicação da animação apresentada pela Mariana. Aqui fica ela.




Veja-se que, num momento inicial, há uma circunferência (a verde) de centro F₁ =O =F₂ e raio |OV| e estão traçadas as tangentes à circunferência tiradas por P, que passam por P e pela intersecção da circunferência inicial com a circunferência de diâmetro |PF₁| =|OP|, no momento inicial. Depois pode ver-se como O e F₂ se vão deslocando, enquanto F₁ se mantém fixo. Quando F₂ se desloca para o infinito, também o centro O se desloca para infinito por ser o ponto médio de [F₁F₂] e a circunferência centrada em O e raio |OV| tende para ser a tangente à parábola no seu vértice. Assim, temos a construção conhecida: as tangentes à parábola tiradas por P passam pela intersecção desta recta em que o círculo principal se transforma com a circunferência de diâmetro [PF₁].
Já agora, podemos ver também como a circunferência (a azul) de centro em F₂ e raio 2.|OV| tende para a directriz à medida que F₂ tende para infinito. Esta circunferência corresponde ao círculo director ou focal da elipse e da hipérbole.

o terceiro vértice

Triângulos isósceles com um vértice fixo e outro a variar sobre uma recta, têm o terceiro vértice sobre uma parábola (de foco no vértice fixo e directriz na recta onde desliza o segundo). Como é óbvio. Publicamos a animação.



[A.A.F.]

a área que não muda

Com a devida vénia, aqui publicampliamos o desafio geométrico do José Paulo Viana (Público do último domingo).



Parece que o Eduardo tem razão. (A caricatura da Cristina também:-) Como podem ver, apoiados na construção dinâmica que se segue e em que pode variar A ou D fazendo variar a inclinação dos lados não paralelos. O triângulo amarelo tem área 8, constante, 1/4 do trapézio. Porque será?

as parábolas que sabemos fazer

pontos, somas e diferenças de distâncias invariantes: parábolas

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um ponto livre num cateto de esquadro que pode deslizar guiado pelo outro cateto numa régua.

e um fio do tamanho do cateto
- que passe pelo ponto que se move quando o esquadro se move roçando a régua -
atado no vértice do cateto e num outro qualquer ponto fixo em parede ou papel

assim sendo o ponto uma ponta de lápis nessa prisão de cateto e fio sempre esticado pela mão que segura o lápis


assim o esquadro siga direito, o lápis traça uma parábola.

Centros de circunferências que desenham...

As circunferências tangentes a uma recta que passam por um ponto fixo têm centro sobre uma parábola.


[A.A.F]

Tangentes a cónicas - caso da parábola

Determinar a tangente a uma parábola tirada por um ponto P.

Para a elipse, tomámos duas circunferências, uma de diâmetro |PF₁| e outra centrada no centro da elipse com diâmetro igual ao eixo maior. As tangentes tiradas por P passam pelos pontos de intersecção destas duas circunferências.

Para obter as tangentes à parábola, podemos considerar uma circunferência de diâmetro |PF|. Como o centro da parábola é um ponto impróprio, a circunferência que na elipse estava centrada no centro e a passar pelos vértices do eixo maior é agora a perpendicular ao eixo no vértice.

Pode deslocar o ponto P para verificar a consistência deste processo de determinar tangentes a uma parábola.



[A.A.F.]

Tangentes a cónicas - casos da elipse e da hipérbole

Em anteriores artigos, abordámos a determinação de tangentes a cónicas segundo diferentes perspectivas. A Mariana tem andado a preparar (e preparou) uma animação que permita ver como é que podemos generalizar para a elipse e para a hipérbole o procedimento utilizado para tirar por um ponto P uma tangente a uma circunferência. Nesta animação, a a Mariana utiliza várias das iniciativas anteriores - determinação de cónicas como envolvente de famílias de rectas obtidas a partir de uma circunferência, tangente a uma circunferência, etc. Falta ainda completar esta unificação, apresentando a determinação da tangente a uma parábola.





[A.A.F.]

Circunferência, elipse e calculadora gráfica

Quando, sem cuidados, escolhemos DRAW CIRCLE no menu principal de uma calculadora gráfica, como se pode ver nas figuras seguintes, obtemos uma elipse




Tal se deve ao facto de a calculadora assumir por defeito um rectângulo de visualização (ZOOM STANDARD) correspondente uma janela [-10;10] por [-10;10], o que significa que a escala utilizada no eixo dos YY é diferente da escala usada no eixo dos XX




Para obtermos a circunferência que queremos, devemos partir de um referencial monométrico que é o mesmo que escolher ZOOMSQUARE, em vez de ZOOMSTANDARD,




De facto, com o ZOOMSTANDARD, em vez de uma circunferência obtemos uma elipse afim



Na construção animada, a afinidade em causa tem eixo AB e transforma D em F (P em P'). [AB] mantém-se invariante e [CD] é transformado em [EF].

Tangentes a uma elipse tiradas por um ponto

Exercício Interactivo

Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.

Aplicação da afinidade( II)

Aplicação da afinidade à determinação de tangentes a uma elipse

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O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:



- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.

Aplicação da afinidade

Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).

[A.A.F.]
Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade: - determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K'); - determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência. Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.

Eixos da elipse afim de uma circunferência

Determinar os eixos de uma elipse afim de uma dada circunferência é caso particular da construção apresentada em artigo anterior. Teremos de procurar o par de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transforma, por afinidade, no único par de diâmetros conjugados perpendiculares da elipse afim. Para isso, basta traçar a circunferência de centro sobre o eixo de afinidade que tem o segmento [OO'] como corda - o centro é a intersecção do eixo com a mediatriz do segmento [OO'].

Exercício Interactivo

Dada uma afinidade definida pelo seu eixo e por um par de pontos homólogos O e O', determinar os eixos da elipse afim de uma dada circunferência de centro O.

Diâmetros conjugados e afinidade

Para obter a elipse afim de uma circunferência, podemos determinar as imagens de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transformam em diâmetros conjugados da elipse.

Exercício Interactivo

Seja uma afinidade definida pelo seu eixo; é dada uma circunferência de centro O cuja imagem é O'. Pretende-se que determine o par de diâmetros conjugados da elipse afim da circunferência, em que o ponto A da circunferência se transforma num extremo de um desses diâmetros.

Transformada afim de uma circunferência

Tendo presente que na transformação afim não existe recta limite, concluimos que o transformado de uma circunferência é uma cónica sem pontos impróprios, portanto uma elipse.

Exercício Interactivo

Numa afinidade de eixo e, o transformado do ponto A da circunferência de centro O é o ponto A'. Determine a transformada da circunferência.



Pode fazer variar a circunferência. Verificará que o afim de uma circunferência, quando existe, é uma elipse.

Homologias: os casos da homotetia, simetria axial e translação.

Homotetia

Trata-se de uma homologia de eixo impróprio e centro próprio. Cada par de pontos homólogos (AA') verifica a relação OA/OA' = OB/O'B' = k, sendo k um número real (razão de homotetia).
No caso particular de ser k = -1, a homotetia é uma simetria central



Simetria axial.

É um caso particular da homologia afim: os pontos homólogos são simétricos em relação ao eixo, obliquamente ou ortogonalmente.




Translação

É uma homologia de centro impróprio e eixo impróprio.

Homologias: o caso da afinidade.

Homologia afim ou afinidade

Trata-se de uma homologia de eixo próprio e centro impróprio. Ou seja, as rectas definidas por pontos homólogos são paralelas. Assim, uma afinidade fica definida dando o eixo (eixo de afinidade) e um par de pontos homólogos (direcção de afinidade).
As construções de imagens afins de uma figura dada são análogas às utilizadas na homologia, tendo, porém em conta que não existem rectas limite.




Exercício interactivo

Dado o quadrilátero [ABCD], determine os vértices do seu transformado na afinidade definida pelo eixo e e que a A faz corresponder A'.

Homologia e parábola

Exercício interactivo
Numa dada homologia de centro O, recta limite l e eixo e, uma dada circunferência tem por imagem uma parábola. Determine o vértice dessa parábola.

Parábola e homologia

Uma homologia está definida pelo centro O, pela recta limite l e pelo eixo e. Determinar, nessa homologia, a cónica transformada da circunferência dada, tangente a l no ponto T.





O ponto T de tangência entre a circunferência e a recta limite l vai ter como homólogo o ponto do infinito da cónica que, por consequência, será uma parábola. A direcção do eixo da parábola é, portanto, a recta OT.

Sabemos que a tangente à parábola no seu vértice é perpendicular ao eixo. Logo, a recta OL, perpendicular a OT dá a direcção da tangente no vértice. Se por L traçarmos a tangente à circunferência, o ponto V de tangência tem como homólogo o ponto V´, vértice da parábola.

Para definir a parábola basta obter os transformados de dois pontos da circunferência; determinados esses dois pontos e os seus simétricos em relação ao eixo, ficamos com cinco pontos.

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.

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Ver artigos precedentes.

Hipérbole e homologia

O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.




Sejam L₁ e L₂ os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T₁ a intersecção da tangente t₁ com e e T₂ a intersecção da tangente t₂ com e. A paralela por T₁ a OL₁ e a paralela por T₂ a OL₂ são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.

A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.

Focos da elipse homóloga de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.

Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.



[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL₁ e OL₂ definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL₁ e OL₂ devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL₁ e OL₂, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.

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Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.

Diâmetros conjugados e homologia

Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.

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[A.A.M.]
Na construção restaurada, pode seguir a resolução do exercício recorrendo ao cursor n que pode tomar os valores de 1 a 5. Tomámos para guia as notas que acompanhavam a construção feita ao tempo (2008 com a aplicação CaR (ZuL) de R. Grothmann) e se mantêm a seguir:
Notas:
Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L₁ de l, tracemos as tangentes t₁ e t₂ à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T₁ e T₂, intersecta l num ponto que designamos por L₂; tracemos as tangentes t₃ e t₄ à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T₃ e T₄, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T₁T₂] e [T₃T₄] são um par de diâmetros conjugados da cónica.

Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t₃ e t₄.

Homologia e circunferência

Exercício interactivo

Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.

Circunferência transformada em hipérbole

Exercício interactivo

Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.





A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.