Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.



[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL₁ e OL₂ definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL₁ e OL₂ devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL₁ e OL₂, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.

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Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.