Colineares - recta de Euler - e concíclicos - círculo de Feuerbach;

No triângulo [ABC] tracemos as medianas AMa, BMb e CMc que se intersectam no baricentro G
Como é bem conhecido: o triângulo [MaMbMc] tem os lados ordenadamente paralelos aos do triângulo [ABC]; [ABC] e [MaMbMc] são homotéticos: o centro de homotetia é G e a razão é 1/2.

Os pontos notáveis de [MaMbMc] são homotéticos dos pontos notáveis correspondentes de [ABC]. G, como centro de homotetia, é baricentro de ambos os triângulos. O ortocentro H de [ABC] é homotético do ortocentro de [MaMbMc] que, como é óbvio, é o circuncentro O de [ABC]. Concluímos assim, como já vimos há tempos, que os pontos G, H, O são colineares (“recta de Euler”) e, atendendo à razão de homotetia, |HG| = 2 |GO|.

O circuncentro O de [ABC] tem por homotético o centro F da circunferência definida pelos pontos Ma, Mb, Mc. Ora como vimos (nos artigos sobre lições de Geometria Métrica de Puig Adam Pontos e rectas notáveis de um triângulo e Teorema de Feuerbach), trata-se do “círculo de Feuerbach”. Sendo assim, F pertence também à recta de Euler e é |OG| = 2|GF|. Então F é o ponto médio do segmento [HO]. Atendendo à constância das razões que é possível obter, concluímos que (HGOF) formam um quaterno harmónico.




Recordamos ainda que o círculo de Feuerbach é também designado por “círculo dos nove pontos”: além de Ma, Mb, Mc, contem ainda os pés Ha, Hb, Hc das alturas e os pontos médios dos segmentos definidos por H e cada um dos vértices A, B, C.
O círculo de Feuerbach é tangente ao incírculo e aos ex-incírculos. Os quatro pontos de contacto são os “pontos de Feuerbach”.

Consideremos o triângulo [A₁B₁C₁], em que cada lado está sobre a paralela a um lado do triângulo [ABC] tirada pelo vértice oposto.

O incentro I de [ABC] tem por homotético o incentro de [A₁B₁C₁]. Tal ponto é o nosso conhecido “ponto de Nagel” N. Atendendo à homotetia, os pontos G, I, N são colineares e NG = 2 GI.