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27.8.08

Mais propriedades do Ponto Lemoine


  • Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.

    Na construção que se segue, pode acompanhar as etapas deste novo processo de determinar o ponto Lemoine de um dado triângulo Δ[ABC].



    Vale a pena demonstrar que esse ponto K, assim obtido, é o Ponto Lemoine do triângulo Δ[ABC].


  • O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).





Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como se pode ver na construção que se segue, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.


Assim conhecemos uma outra forma de determinar o ponto de Lemoine de um triângulo ABC como ponto de intersecção dos segmentos que unem os pontos Ma, Mb e Mc médios, respectivamente dos lados a=BC, b=CA e c=AB e os pontos Mha, Mhb e Mhc médios das respectivas alturas tiradas por A, B, C, a saber AHa, BHb e CHc.


Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:


  • As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.

  • A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.

  • O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.

  • As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.




  • As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




  • [KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.