A animação das tangentes à parábola

Publicámos recentemente dois artigos Tangentes a cónicas - caso da elipse e da hipérbole e Tangentes a cónicas - caso da parábola em que procurávamos dar conta dos esforços da Mariana Sacchetti para mostrar como o processo da determinação das tangentes tiradas por um ponto P à circunferência passa para a determinação das tangentes às outras cónicas. Se animação para os casos das tangentes à elipse e à hipérbole tinham sido conseguidas, já o mesmo não podíamos dizer do caso da parábola.
Esta falta de animação com a parábola é suprida pela publicação da animação apresentada pela Mariana. Aqui fica ela.




Veja-se que, num momento inicial, há uma circunferência (a verde) de centro F₁ =O =F₂ e raio |OV| e estão traçadas as tangentes à circunferência tiradas por P, que passam por P e pela intersecção da circunferência inicial com a circunferência de diâmetro |PF₁| =|OP|, no momento inicial. Depois pode ver-se como O e F₂ se vão deslocando, enquanto F₁ se mantém fixo. Quando F₂ se desloca para o infinito, também o centro O se desloca para infinito por ser o ponto médio de [F₁F₂] e a circunferência centrada em O e raio |OV| tende para ser a tangente à parábola no seu vértice. Assim, temos a construção conhecida: as tangentes à parábola tiradas por P passam pela intersecção desta recta em que o círculo principal se transforma com a circunferência de diâmetro [PF₁].
Já agora, podemos ver também como a circunferência (a azul) de centro em F₂ e raio 2.|OV| tende para a directriz à medida que F₂ tende para infinito. Esta circunferência corresponde ao círculo director ou focal da elipse e da hipérbole.