Os spliters e o primeiro ponto de Nagel

Ricardo Portugal enviou-nos uma mensagem em que escrevia: (...) terminei (...) a minha monografia de fim de curso que aborda alguns temas de geometria euclidiana pouco divulgados, nomeadamente cleavers e spliters. (...) Não sei como se costuma fazer para que os temas sejam publicados no fórum, o que gostaria de saber é se haveria hipótese de publicar o meu trabalho, ou pelo menos partes dele, para serem discutidas, (...) seria uma forma de divulgar alguns resultados de geometria euclidiana recentes.
Aceitamos todas as sugestões e o Ricardo Portugal enviou a sua monografia (Portugal; Ricardo Filipe Marques. Geometria Euclidiana - Cleavers and Spliters. 2008 (baseada na obra de Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry). Agradecemos a sua confiança e apoio. Aos interessados na monografia de Ricardo Portugal e na sua discussão, sugerimos que cliquem sobre o nome do autor para o contactar.

Alguns dos resultados do tema que estamos a publicar actualmente (sob direcção de Aurélio Fernandes, como quase sempre) estão abordados na monografia de Ricardo Portugal e, seguindo o conselho de Ricardo, divulgamos os termos em uso (spliters, por exemplo. Alguns destes resultados já apareceram e foram abordados em artigos anteriores.

O resultado seguinte trata da recta que passa por um vértice A de um triângulo [ABC] e pelo ponto F de [BC], ponto de tangência do círculo ex-inscrito. A uma ceviana assim definida dá-se o nome de spliter por ser verdade que |AB|+|BF|=|AC|+|CF|(o perímetro fica dividido em duas partes de igual medida). Split significa divisão, cisão, ruptura. Talvez por não haver uma palavra única em portugês que traduza spliter é que não se encontre designação equivalente em obras portuguesas.

A construção seguinte, em que pode provocar variações, permite-lhe confirmar que [AF] é um spliter de [ABC], resultado de que está escrita a demonstração. Claro que, em cada triângulo há 3 spliters deste tipo.




Ricardo Portugal utiliza este resultado para provar a existência do primeiro ponto De Nagel, com recurso ao Teorema de Ceva. Mais ou menos assim:





Por AF ser spliter a₂+b₁+b₂é um semiperímetro
E a₁+a₂+b₁ é também semiperímetro do triângulo já que BE é também spliter do mesmo triângulo.
De a₁+a₂+b₁=a₂+b₁+b₂, sai que a₁=b₂.

De modo análogo, se conclui que b₁=c₂ e a₂=c₁

a₁ /b₂=1, b₁/c₂=1 e a₂/c₁=1

(a₁/b₂)(b₁/c₂)(c₁/a₂) =1

(a₁/a₂)(b₁/b₂)(c₁/c₂) =1

(|BF|/|CF|).(|CE|/|AE|).( |AD|/|DB|) =1

E assim fica claro que estas cevianas AF, BE e CD verificam o teorema de Ceva e, por isso, se intersectam obrigatoriamente num ponto - o primeiro ponto de Nagel....