Teorema Fundamental da Geometria Projetiva

Como sabemos, uma reta r corta um feixe abc de centro O₁ numa pontual ABC. Podemos fazer corresponder a cada ponto de uma pontual uma reta de um feixe e reciprocamente, a cada reta de um feixe fazemos corresponder um ponto de uma pontual.
O Teorema Fundamental da Geometria Projetiva diz-nos que
1. uma projetividade é bem determinada se conhecermos 3 pontos colineares (de uma pontual sobre uma reta r) e os correspondentes (um a um) 3 pontos colineares (de uma outra pontual sobre s)
ou dualmente
2. uma projetividade fica bem definida se conhecermos 3 retas concorrentes num ponto O₁ e as correspondentes (uma a uma) retas de um outro feixe de centro O₂.

Demonstração:
1. Quaisquer 3 pontos A, B, C de uma pontual sobre uma reta r e quaisquer 3 pontos A', B', C' de uma pontual sobre s definem sempre uma projetividade que transforma A em A', B em B', C em C'. Assim: Tomemos um feixe centrado em A (AA', AB', AC') e um outro centrado em A' (A'A, A'B, A'C) e a reta que passa por K=AB'.A'B e L=AC'.A'C. Sendo J=AA'.KL, pela perspetividade de centro A', a pontual ABC é transformada em JKL e esta, pela perspetividade de centro A, é transformada em A'B'C'. A projetividade, composta dessas duas perspetividades, transforma ABC em A'B'C'.
Claro que para definir esta projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' se podem tomar como centros dos feixes B e B', C e C' ou dois pontos quaisquer em AA' (BB' ou CC').
Se precisarmos de determinar a imagem de um quarto ponto X sobre r, bastará tomar A'X do feixe centrado em A' e, sendo M o ponto comum a A'X e KL, X' será o ponto de AM do feixe centrado em A comum a s.



2. Tomados dois feixes a, b, c por O₁ e a', b', c' por O₂, fica bem definida uma projetividade que faz corresponder a a a', b a b', c a c'. Assim: Cortando o primeiro feixe por uma reta r arbitrária, obtemos uma pontual A, B, C de base r e cortando o segundo feixe por uma outra reta s, obtemos uma outra pontual A', B' C'. Por 1. fica definida a projetividade que leva de A a A', B a B', C a C'. E, finalmente, podemos definir a projetividade entre os dois feixes
a→A→A'→a', b→B→B'→b' e c→C→C'→c'.

Se precisarmos de determinar a imagem de uma quarta reta d por O₁, bastará tomar D=r.d e, seguindo o procedimento de (1,) determinar D' sobre s para definir d'=D'O₂.

Sequência de pontos harmonicamente ligados a A,B, Z∞

Retomamos o procedimento especial para obter uma sequência harmónica de pontos relacionados harmonicamente com A,B,Z que apresentámos na entrada anterior. Só que tomamos Z como ponto no infinito.

[A.A.M.]

Podemos observar uma sequência de pontos relacionados harmonicamente dependentes dos três pontos A, B, Z_∞. Claro que esta pode ser composta por A,B,C,Z_∞; ou A,B,C,D, Z_∞;... ou, por uma infinidade numerável de pontos (como pode acontecer com qualquer rede de racionalidade).

Nestas duas últimas entradas, entre dois pontos consecutivos não há outros pontos obtidos pelo mesmo procedimento especial, sendo que nesta última, aos nossos olhos os pontos sucessivos aparecem igualmente espaçados.

Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

Afinal uma rede harmónica não é mais que um conjunto de no mínimo três pontos que inclui, para cada terno dos seus pontos, o conjugado harmónico de cada um relativamente aos outros dois. Na entrada anterior, definimos rede harmónica ou rede de racionalidade (tradução literal de "harmonic net" e "net of rationality" usadas em Projective Gometry - Coxeter, que seguimos no nosso estudo acompanhado das nossas construções dinâmicas).

Nesta entrada, construímos um conjunto numerável de pontos harmonicamente relacionados com ABZ, em que cada ponto novo sucede ao anterior.

[A.A.M.]
O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:
Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e R arbitrários. Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.
O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:
C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ; D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc
As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é independente da escolha dos pontos auxiliares P e R (pontos que pode deslocar na figura para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única, para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racionalidade R(ABZ). Neste caso entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,... Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...

Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos colineares distintos A,B,C, se P puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos (e por qualquer ordem) que o antecedam.
Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)


[A.A.M.]
Na figura acima, está construída uma pontual satisfazendo as condições de uma rede R(ABC). Incluímos os quadriláteros completos utilizados com indicação das diversas relações harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos colineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada um deles relativamente aos outros dois.
Claro que percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos. Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos, também transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos
Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos seus primeiros três pontos?

Exercício Interativo: Polo trilinear de uma reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo trilinear P da reta p no sentido dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior. ....................... Sugestão:
Tome P'_a=p.BC. E determine P_a: H(BC,P'_aP_a). Depois determine P_b e P_c.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.

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Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_b e CP_c intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p

Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.

Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA₁,QR) e H(BB₁,RP) então P e Q são conjugados harmónico relativamente a C=AB₁.BA₁ e C₁=AB.A₁B₁.

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A construção abaixo serve para ilustrar esse resultado. Tomámos A e A₁ sobre RQ tal que H(AA₁,QR) e BB₁ sobre RP tais que H(BB₁,RP) - a hipótese por construção. E podemos constatar a tese sobre a mesma construção. Demonstração:

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O quadrilátero BCB₁C₁ garante que CC₁ interseta AA₁ em Q, conjugado harmónico de R relativamente a A e A₁. E de modo análogo, o quadrilátero CAC₁A₁ garante que CC₁ interseta BB₁ em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA₁B₁ garante-nos que Q sobre AA₁ e P sobre BB₁ são conjugados harmónicos relativamente a C e C₁

Exercício Interativo: Dos pontos diagonais aos vértices do quadrilátero

Determinar os vértices de um quadrilátero completo PQRS de que se conhecem os pontos diagonais A, B, C e o vértice S.

Perspetividades e projetividades preservam as relações harmónicas

Na figura dinâmica abaixo, apresentam-se um feixe abcf de centro S, cortado por duas retas que não passam por S, sendo
A→a→A', B→b→B' e C→c→C', F→f→F'
ABCF→_Sabcf→_SA'B'C'F'
que é o mesmo que dizer ABCF e A'B'C'F' são S-perspetivos.
Por construção, os pontos ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF).
Pelos resultados da página anterior sabemos que se ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF) então abcf é um feixe harmónico. E se abcf é um feixe harmónico então a sua secção A'B'C'F' por uma reta é um conjunto harmónico de pontos. Resumindo
Se ABCF e A'B'C'F' são perspetivos e H(AB,CF) então H(A'B',C'F')
que é o mesmo que dizer que as perspetividades preservam a relação harmónica. Como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que a projetividade preserva a relação harmónica. [Por exemplo, von Staudt definia projetividade como correspondência biunívoca que transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos]. E, como já vimos em entrada anterior, quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados aos pares por uma projetividade, por exemplo,
ABCF e FCBA são projetivos, como são projetivos ABCF e CFBA. ABCF e CFAB, ABCF e FCAB
E, assim, como o projetivo de um harmónico, harmónico é, podemos concluir que:
se H(AB,CF), então H(FC,BA) e também H(CF,BA), H(CF,AB), H(FC,AB).

Projetividade entre pontuais e feixes harmónicos.

Retomamos a figura da última entrada. Na construção abaixo, o feixe abcf de centro em S=a.b.c.f respeitando uma relação harmónica. Nesta construção, cada terno a,b,c determina univocamente a reta f. A, B, C, F constituem uma secção do feixe harmónico a,b,c,f, pela reta q, ao mesmo tempo que são os pontos da secção pela reta q do quadrilátero de vértices P,Q,R,S. A reta q passa por dois dos seus pontos diagonais A e B, sendo que C e F são pontos de interseção de q com os lados RS e PQ, respetivamente.
Este processo garante que o feixe harmónico abcf pode ser obtido a partir de qualquer conjunto harmónico de pontos e um ponto S em que não incida a reta do conjunto harmónica. Assim, fica estabelecido que
Um conjunto harmónico de pontos é projetivo com um feixe harmónico de retas de centro fora da base do conjunto harmónica
e, dualmente,
Qualquer secção de um feixe harmónico por uma reta que não passe pelo seu centro é um conjunto harmónico de pontos.

Relações harmónicas - duais.

Introduzimos a relação harmónica H(AB,CF) com recurso a um quadrilátero completo PQRS, para a qual os pontos A, B, C determinam univocamente F. Trata-se agora de dualizar esse trabalho que concluirá por uma relação para a qual três retas a, b, c determinam univocamente uma quarta reta f.

H(AB, CF): Estabelecer essa relação harmónica é o mesmo que criar o conjunto harmónico (AA,BB,CF) como secção (pontual) de um quadrilátero completo PQRS pela reta AB, considerados estes últimos como pontos diagonais do quadrilátero a construir. Fez-se assim: Tomámos a reta dos três pontos A, B, C colineares e um ponto R (livre) fora dessa reta. E traçamos os lados do triângulo ABR. Seguidamente, por A, tirámos uma segunda reta que corta BR em P e CR em S. A reta que passa por B e S determina Q sobre AR. Falta o lado QP que cortará ABC em F, conjugado harmónico de C; C é único para cada terno ABC, independente do quadrilátero PQRS; poderá verificar ao fazer variar o quadrilátero (deslocando R) de que construímos os lados e em que A e B são dois dos seus 3 pontos diagonais e C está sobre AB e o lado RS. C é o conjugado harmónico de F pela relação estabelecida.

H(ab,cf): Tomamos agora três retas distintas a,b,c que incidem num mesmo ponto que designamos por a.b.c. E vamos construir um quadrilátero de lados p,q,r,s, começando pelo triângulo qrs cujos vértices q.r, q.s, r.s incidam respetivamente em a,b,c. O lado p é o que passa por a.s e b.r, p=(a.s)(b.r). O lado p interseta q e tomamos a reta f=(a.b)(p.q) Assim, o quadrilátero de lados p,q,r,s tem a e b como duas das suas 3 diagonais enquanto c passa por dois vértices. Poderá verificar que f é única para cada terno (a,b,c) independente do quadrilátero de lados p,q,r,s, como pode verificar quando desloca esses lados mantendo a incidência das suas interseções em a,b,c fixas.Por exemplo, pode deslocar os pontos a.r sobre a reta a, b.q sobre a reta b ou c.r sobre a reta c. Podemos dizer que a reta f assim determinada é conjugada harmónica da reta c numa relação harmónica que designamos talvez abusivamente por H(ab,cf).

Se,na figura da direita, chamarmos A=a.q=a.r, B=b.q=b.s=q.s, C=c.q e F=f.q=p.q=f.p, é óbvio concluir que (AA,BB,CF) é um conjunto harmónico ou que H(AB,CF). Basta identificar as linhas ligadas ao quadrilátero de lados p,q,r,s e retas diagonais a,b,c com as linhas PQ, AB,QR, RP,PS, QS, RS para ver como ABCF, sendo uma secção do conjunto harmónico abcf é uma secção pontual harmónica do quadrilátero de vértices PQRS, agora nomeado.

Notas sobre configurações e dualidade

No plano, consideramos pontos e retas, sendo as retas conjuntos de pontos. Claro que já tratámos de conjuntos de pontos e retas. Para cada um desses conjuntos terá interesse saber 4 números: o número de pontos e o número de retas, o número de retas que passa por cada um dos pontos e o número de pontos que pertencem a cada uma das retas.
Por exemplo, um quadrilátero pode ser um conjunto de 4 pontos e 6 retas, sendo que por cada um dos 4 pontos passam 3 retas e cada uma das 6 retas passa por 2 pontos. Descrevemos o quadrilátero completo como sendo uma configuração (4₃, 6₂). Claro que um quadrilátero completo também pode ser definido com uma configuração (6₂, 4₃), 6 pontos com 2 retas a passar por cada um deles e 4 retas com 3 pontos a incidir em cada uma delas. Estas duas configurações são duais.
Numa configuração auto-dual o número de retas é igual ao número de pontos e o número de pontos de cada uma das retas é igual ao número de retas a incidir em cada ponto. Por exemplo o triângulo tem a seguinte configuração (3₂, 3₂) nas duas definições duais.
A configuração de Desargues também é autodual, exatamente (10₃, 10₃), como se pode ver:
A,B,C, A',B',C', O(=AA'.BB'=AA'.CC'=BB'.CC'), I(=AB.A'B'),J(=AC.A'C'),K(=BC.B'C') - 10 pontos
IAB, IA'B', JAC, JA'C', KBC, KB'C', OAA', OBB', OCC', IJK - 10 retas
Por cada ponto 3 retas, em cada reta 3 pontos.

Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por, colinear e concorrente, vértice e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos (com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

Já várias vezes referimos e utilizámos o princípio da dualidade quando, por exemplo, definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente, como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)



2. quadrilátero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4 retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).
   
   
3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais. Depois de usar os axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos imediatamente afirmar o teorema dual.
Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).
Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e, principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter demonstrado 20

Nota marginal sobre a palavra harmónico em uso

Coxeter recomendou que nos detivéssemos na geometria euclidiana por mais uns momentos e que tomássemos uma corda esticada OC e G, E de tal modo que 3.OG=2.OC e 5.GE=2.GC. Assim fizemos. Diz ele que se afinarmos a corda OC para a nota C (Dó), a corda OG ficaria afinada para dar a nota G (Sol) e a corda OE ficaria afinada para a nota E (Mi). Dó, Sol, Mi são as três notas do acorde da terceira maior: o intervalo entre a nota produzida por OC e a nota produzida por OG é uma quinta perfeita e o intervalo entre a nota produzida por OC e a produzida por OE é uma terceira maior.



Desenhámos em seguida um quadrilátero completo PQRS de tal modo que O=RQ.PS, E=RP.QS e G em RS. Verificámos que QP passa por C, o que significa que (OO)(EE)(GC) é um conjunto harmónico.
Deslocando o ponto R, pode verificar a relação H(OE,CG).
Fica-se a saber que a designação de harmónica que aplicamos a essa relação tem origem na harmonia da terminologia musical.

Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Notas
1. Referência a novos Axiomas: Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que não são colineares. Acrescentamos este resultado como axioma: Num quadrilátero completo, os três pontos diagonais nunca são colineares. Também é axioma a seguinte afirmação: Se quatro pontos distintos A, B, C, D forem tais que AB interseta BC, então AC interseta BD.
2. Na entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), secção do quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais AB, no caso. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F serem os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal incidem sobre a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F_∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F_∞ é invariante, tal como se esperava ABF_∞ define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(F_∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante). Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer?

Dois novos axiomas: causas e consequências

Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.
E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:
1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:

Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o tivessemos então considerado axioma).

2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são colineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.
Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.
Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de C.


Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta, já que os três pontos diagonais não são colineares o que garante que F e C são distintos entre si e distintos de A e B.

Conjunto Harmónico

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Seccionámos quadriláteros completos por uma reta que não passa pelos vértices nem por pontos diagonais.
Vamos agora cortar um quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais. A este caso especial de conjunto quadrangular chamamos conjunto harmónico, descrevendo a relação do seguinte modo (AA)(BB)(CF) ou abreviadamente H(AB,CF) que terá o mesmo significado que H(BA,CF), H(AB,FC) ou H(BA,FC), em que A e B são dois pontos diagonais e C e F estão sobre os dois lados que passam pelo terceiro ponto diagonal.

[A.A.M.] Dizemos que F é conjugado harmónico de C relativamene a A e B e, claro que também C é conjugado harmónico de F. Lembramos ainda que, de acordo com a entrada anterior, o ponto F é determinado univocamente por A,B e C [(AA)(BB)(CF)].

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Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994

Numa secção quadrangular, cada ponto depende dos outros 5

Cada ponto de uma secção quadrangular é determinado unicamente pelos 5 pontos restantes .

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Como já tínhamos visto, quaisquer cinco pontos A, B, C, D, E colineares podem sempre ser vistos como elementos pertencentes a lados de um quadrilátero. Para ver isso, basta desenhar um triângulo QRS cujos lados RS, SQ, QR passam por C, B, D. Estes lados podem ser quaisquer 3 retas não concorrentes em C, B, D. O quarto ponto P do quadrângulo pode ser obtido como intersecção das retas AS e ER e finalmente um ponto F colinear com os pontos A, B, C, D, E (de uma recta g qualquer que seccione os lados PS, QS, RS, QR, RP e PQ do quadrilátero: O conjunto de 6 pontos das intersecções de g com cada um dos respectivos lados do quadrângulo e de tal modo que os primeiros 3 pontos incidem em lados a passar por vértices enquanto que os restantes três pontos incidem respectivamente sobre lados opostos que fomam um triângulo. O que estamos agora a fazer é provar que se escolhermos diferentes triângulos QRS, o ponto F continua o mesmo.

Experimente deslocar qualquer dos pontos Q, R, S na janela de visualização inicial (do primeiro passo9.

[A.D.A.M.]
Para mostrar que F é determinado unicamentepelos pontos A, B, C, D, E, consideremos um outro quadrângulos P'Q'R'S' cujos primeiros cinco lados passam pelos mesmos cinco pontos em g - A, B, C, D e E - e de tal modo que os dois triângulos P'R'S' e PRS sejam perspectivos relativamente a g e sendo também perspectivos relativamente a um ponto O=RR'.SS' de PP'. De modo análogo, os triângulos perspectivos QRS e Q'R'S' relativamente a QQ' que passa pelo mesmo ponto O.

Podemos dizer, por isso, que PQRS e P'Q'R'S' são quadrângulos perspectivos. Por isso, os triângulos PQR e P'R'S', que são também pespectivos pela recta DE que é g. E que os lados PQ e P'Q' se intersectam com g no mesmo ponto F (como esperávamos).

Secção de um quadrilátero completo

Tomemos quatro pontos P, Q, R, S tal que não há ternos que sejam colineares. São os quatro vértices de um quadrilátero. Tomemos, em seguida, as seis retas PQ, PR, PS, QR, QS, RS. São os seis lados do quadrilátero completo. Os pares lados opostos encontram-se em 3 pontos que não são vértices e a que chamamos pontos diagonais (um triângulo diagonal)
Uma reta g que corte os lados do quadrilátero, cria uma secção pontual de 6 pontos ABCDEF se não passar por qualquer dos pontos diagonais.

A,B,C são as interseções da reta g com as retas PS, QS e RS respetivamente. Estão em retas que passam por um mesmo vértice S. Os restantes D, E, F estão sobre g e os lados QR, RP e PQ respetivamente, opostos de PS,QS e RS. Por isso, representamos esta secção por (AD)(BE)(CF) em que cada par são pontos de lados opostos do quadrilátero completo que se mantém ao aplicarmos uma mesma permutação a ABC e DEF, isto é, (AD)(BE)(CF) tem o mesmo significado que (BE)(AD)(CF), já que o quadrilátero PQRS pode ser chamado QPRS.
(AD)(BE)(CF) é igualmente equivalente a cada uma das seguintes (AD)(EB)(FC), (DA)(BE)(FC), (DA)(EB)(CF).
À secção do quadrilátero completo, chamamos conjunto quadrangular e representamo-lo também por Q(ABC, DEF), para além das representações do tipo (AD)(BE)(CF)

Três triângulos perspetivos por um ponto O

Na construção a seguir, os triângulos verde, azul e vermelho são perspetivos por O. Como pode observar-se, a figura sugere que as retas D₁E₁F₁, D₂E₂F₂ e D₃E₃F₃ incidem num mesmo ponto K.




Para provar esse resultado, Coxeter dá a sugestão de aplicar o recíproco do terorema de Desargues aos triângulos D₁D₂D₃ e E₁E₂E₃.

Novo problema:
Coxeter pergunta o que acontece ao recíproco do Teorema de Desargues se o aplicarmos a triângulos cujos lados correspondentes se intersetam em pontos do infinito (paralelos)?

Teorema de Desargues e recíproco

Na entrada anterior e nesta, apresentamos uma construção dinâmica em que partimos de um feixe por O e de dois triângulos ABC e DEF em que cada um dos vértices está sobre uma reta do feixe e de tal modo que A→D, B→E e C→F, isto é AD∩BE∩CF={O}, isto é ABC é O-perspetivo DEF. Observámos que os pares de lados correspondentes (AB, DE) ou (c,f), (AC,DF) ou (b, e), (BC, EF) ou (a, d) se intersetam respetivamente nos pontos R, Q e P que são colineares ou pertencem todos à reta o, que é o mesmo que dizer que os triângulo abc e def são o-perspetivos. Os programas de geometria dinâmica podem verificar que o ponto R está sobre a reta PQ, assim como podem verificar que CF incide sobre o ponto de interseção de AD com BE.



De certo modo, podemos verificar que "Dados dois triângulos e uma correspondência biunívoca pela qual qual os pares de vértices correspondentes definem três retas que incidem num mesmo ponto O, então os pares de lados correspondentes pela mesma correspondência intersetam-se em pontos de uma mesma reta o", ou dito de outro modo, "Se dois triângulos são perspetivos por um ponto, então são perspetivos por uma mesma reta. Este resultado, conhecido por Teorema de Desargues, pode ser demonstrado, mas, mesmo para pares de triângulos do mesmo plano, precisa de um axioma novo e de usar um ponto exterior ao plano. Optamos, por isso e como fazem muitos autores, para o nosso estudo de geometria plana, tomar o chamado teorema de Desargues como um axioma.

Podemos demonstrar o recíproco (dual) do terorema de Desargues, a saber: Se dois triângulos são perspetivos por uma reta o, então são perspetivos por um ponto O. Tome-se da figura em que a.d=P, b.e=Q e d.f=R são pontos de o. E provamos, em consequência disso e do teor de Desargues, que as retas (a.b, d.e) ou CF, (a.c, d.f) ou BE, (b.c, e.f) ou AD se intersetam num ponto.
Recorremos aos triângulos ADQ e BEP. Estes triângulos são R-perspetivos, já que AB∩DE=DE∩QP=AB∩QP={R}. O teorema de Desargues aplicado a estes triângulos ADQ e BEP que são perspetivos por R, garante que AD∩BE={O}, AQ∩BP={C} e DQ∩EP={F} são colineares. Fica demonstrado que a reta CF passa por O, interseção de AD com BE.

Triângulos perspetivos

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos se estiverem relacionados por uma perspetividade. Esta noção pode ser ampliada para quasiquer duas figuras planas envolvendo mais do que um ponto ou mais que uma reta. Dois espécimes de uma figura dizem-se perspectivos se os os seus pontos podem ser relacionados por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de pontos corrrespondentes (ou homólogos) definem retas concorrentes ou se as suas retas podem ser relacionadas por uma correspondência biunívoca tal que todos os pares de retas correspondentes (ou homólogas) se intersetam em pontos colineares.
Considere os dois triângulos ABC e DEF da figura (BC=a, AC=b, AB=c; EF=d, DF=e, DE=f). E repare que AD.BE.CF=O e a.d,b.e, c.f estão sobre a reta o.

Assim os dois triângulos ABC e DEF da figura que se segue são perspetivos, quer porque A→D, B→E e C→F pela perspetividade relativa ao ponto O (as retas AD, BE e CF concorrem num só ponto O), ou porque a→d, b→e, c→f pela perspetividade relativa à reta o.

A O chamaremos centro e eixo a o.

Para escrever sobre quadriláteros (completos)

De forma semelhante à abordagem dos triângulos, usamos a palavra quadrilátero (ou quadrângulo) consagrada para designar

1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
   
   
2. 
   o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
   

Para distinguir de outros conceitos associados à palavra quadrilátero, falamos de quadriláteros completos para evitar confusão. De um modo geral, em geometria projetiva só consideramos quadriláteros completos e é frequente falarmos de quadriláteros quando nos estamos a referir a quadriláteros completos.

Para escrever sobre triângulos

Escolhemos para base do estudo de geometria projetiva do plano, as noções primitivas de ponto, reta e incidência. O nosso plano foi definido como um conjunto de pontos {A,B,C,...} não vazio e uma família de subconjuntos {a,b,c, ..} não vazia a que chamámos retas. Considerámos a existência de uma reta a e um ponto A não incidente em a, e, assim, podemos sempre considerar o nosso mundo plano composto por todos os pontos que incidem nas retas definidas pelo ponto A e por cada ponto da reta a, bem como por todas as retas que possam ser definidas por quaisquer pares de pontos assim determinados.
E, a partir de agora, falaremos de triângulos (com recurso a palavra já consagrada pelo uso) como um conjunto de três pontos {A, B, C} não colineares (que não incidem todos numa só reta), a que chamamos vértices e das três retas {AB, BC, AC}, a que chamamos lados, determinadas pelos 3 pares de pontos existentes. Que é exata(dual)mente o mesmo que considerar o conjunto de 3 retas {a, b, c} (lados) não incidentes num mesmo ponto e dos três pontos {a.b, b.c, a.c} (vértices) de incidência dos 3 pares de retas existentes. Escrevemos AB para designar a única reta que passa por (comum a) A e B e a.b para designar o ponto único de (comum a) duas retas concorrentes (a.b=a∩b).

Exercício interativo: projetividade entre feixes

No princípio o que aqui foi apresentado foi um
]EXERCÍCIO INTERATIVO[

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De dois feixes abcd e a'b'c'd projetivos, conhecem-se abcd e a'b'c' em que a→a', b→b' e c→c'. Determine d' - imagem de d, pela projetividade definida por (abc) →(a'b'c').

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De acordo com o enunciado, apresentava-se o problema de construção que podia ser feito usando dados presentes na janela e ferramentas disponíveis para que o leitor pudesse realizar as operações necessárias para resolver o problema (encontrar a solução). Nesta restauração, ainda mantemos essa possibilidade a partir da segunda etapa em que os dados ficam expostos. Mas usando os passos (pela animação ou não) presentamos etapas da apresentação dos dados e de operações por nós escolhidas para chegar à solução.


[A.A.M.]

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma "pontual" A,B,C - conjunto de pontos colineares. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária tirada por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc
[A.A.M.] Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B, tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB. Podemos escrever ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB ABC →_S AQR →_P ADB
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente ABC →_P SRC →_Q BAC

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Na construção que se segue, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.


[A.A.M]
Sigamos os passos da construção - perspectiva e projectiva - deslocando o cursor n=1, 2, ..., 5
Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:
n=3 ---> pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
n=4 ---> seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW e
n=5 ---> da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA

Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base

Sobre uma mesma base r, tomemos a projetividade entre as pontuais ABCD e A'B'C'D' em que A' é a imagem de A, B'de B, C' de C. Determine D' - imagem de D, pela projetividade definida por (ABC) →(A'B'C').

[A.A.M.]

• Como as pontuais ABC e A'B'C' que definem a projectividade estão numa só base r=r', temos de projectar uma delas, seja A'B'C', numa qualquer outra outra recta que designamos por r₁ (optámos por uma reta paralela a r), a partir de um ponto V (próprio ou impróprio), no caso da nossa construção optámos por um ponto próprio: VA'.r ={A₁}, VB'.r ={B₁} e VC'.r ={C₁}.
  
• Usamos a pontual A₁B₁C₁ em r₁ e determinamos o eixo projectivo de r e r₁ pelos pontos AB₁.B₁A={A''} e BC₁.C₁B={C''}: r''= A''C''.
  
• O homólogo do ponto D é obtido pela sucessão de intersecções DA₁ . r'' ={D''},   AD'' . r₁ = {D₁} e VD₁ . r = {D'}.

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A,  B ,  C  e  A',  B',  C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A',  B→B',  C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A,  B,  C,  A',  B',  C'. 
E consideremos o feixe VA',  VB',  VC'.
Tomamos a pontual A₁,  B₁,  C₁ secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A', B' ,C'  e  A₁,  B₁,  C₁ são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A₂,  B₂ ,  C₂, que é secção comum aos feixes AA₁,  AB₁,  AC₁ (por A)  e A₁A,  A₁B,  A₁C (por A₁), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A₁,
A→A₂,   B→B₂ ,  C→C₂;
- pela perspetividade centrada em A,
A₂→A₁,    B₂→B₁,   C₂→C₁;
- pela perspetividade centrada em V,
A₁ →A', B₁→B', C₁→C'
Concluindo:
A→A',   B→B',   C→C'.

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O₁ e O₂ e os feixes O₁A, O₁B, O₁C e O₂D, O₂E, O₂F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O₁A∩ O₂D K=O₁C∩O₂F. Tomamos ainda J na interseção de O₁O₂ com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O₁ ou O₂, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.

Temos
abc→ABC →    DEF →de f
Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Na edição inicial ficava como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis pelo CaR e o computador reconhecia a solução. Nesta,em GeoGebra, apresentamos os passos da construção até à solução.



Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

Projectividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projectividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspectividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projectividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF
Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetividade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projectividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspectividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspectividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r. Claro que podemos estabelecer várias correspondências biunívocas entre os pontos das duas pontuais (ou fileiras). Há, no entanto, correspondências biunívocas especiais. Para exemplo, tomemos A→ D, B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF incidirem num mesmo ponto O, dizemos que as duas fileiras estão relacionadas por uma perspetividade com centro em O (são secções de um mesmo feixe por O) ou são perspetivas.


Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas: a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S, há várias correspondências biunívocas entre as retas dos dois feixes. Para exemplo tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em perspetividade de eixo o

Projetividade

Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o₁, O₁, o₂, O₂,o₃, O₃, ... , o_n-1, O_n-1, o_n, O_n

Claro que tomamos os pontos O_n não incidentes em qualquer das retas o_n para que as correspondências X⁽ⁿ⁾ para x⁽ⁿ⁾ sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x⁽ⁿ⁾ passando por O_n (ou a fileira dos pontos X⁽ⁿ⁾ da reta o_n) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x^(n-1) →X⁽ⁿ⁾

escrevemos simplesmente
X →X⁽ⁿ⁾ ou x →X⁽ⁿ⁾ ou X→x⁽ⁿ⁾

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:

1. Clique no botão fileira
• e observe o que acontece
2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
• e observe o que acontece.
3. Finalmente mantenha os dois botões ativos

Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas. Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.
A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

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Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros
The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e
Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.

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weBiografias

Pappus(n.350-f.290AC)	Euclides(? -300AC)	Arquimedes(287-212AC)
Brunelleschi(1377-1446)	Alberti(1404-1472)	Kepler(1571-1630)
Desargues (1591-1661)	Georg Mohr(1640-1697)	Mascheroni (1750-1800)
Gergonne (1771-1859)	von Staudt (1770-1875)	Poncelet (1788-1788)
Chasles (1793-1880)	Karl Feuerbach (1800-1834)	Klein (1849-1925)
Coxeter(1907-2003)

Introdução à Geometria Projetiva Plana

1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
   Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera comprimentos.
   F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projetiva".
   A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.
   
2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
3. Primeiro esboço de uma axiomática.
   Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:
   
   Axiomas de incidência
   

   Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta	Duas retas distintas têm um só ponto em comum
   Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três deles não incidem numa mesma reta	Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas não incidem num mesmo ponto

   
   Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enunciados é dual do outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).
   Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha garantem que,  no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no mínimmo três pontos.
   Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.

Referências:
Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960
Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988
Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961
Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969
Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949
Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980
Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

Pavimentações não periódicas por replicação de um ladrilho

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original.

Começamos por uma pavimentação com esfinges congruentes





seguida de uma com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele semelhantes.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações não periódicas

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação.

Começamos por uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D₁₂)





seguida de uma pavimentação com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C₂) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:

Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?

Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.

E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.

Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).

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Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro.





Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.

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Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?

1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
   
2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
   
3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?
   

Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.

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Pavimentações regulares

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3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

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Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas

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3.3.3.3.6	3.3.3.4.4	3.3.4.3.4
3.6.3.6	3.4.6.4	3.12.12
4.6.12	4.8.8

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Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.

Pavimentações do plano com ladrilhos regulares: quadrados e octógonos, com vértices da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360)

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos quadrados e hexágonos regulares e vértices todos da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360).

Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo).





Da segunda, todos os vértices são da mesma espécie, mas, vistos por uma determinada ordem circular, uns são 3.4.4.6 e outros 3.4.6.4. Neste caso, todos os vértices são da mesma espécie, não sendo do mesmo tipo.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos, quadrados, hexágonos e dodecágonos com vértice da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (1x60+2x150=360) ou seja todos os vértices são da espécie 3.12.12.





Na segunda, todos os vértices são da espécie 4.6.12, o que quer dizer que, ligados a cada vértice há um quadrado, um hexágono e um dodecágono(1x90+1x120+1x150 =360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e quadrados com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360).

Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4.





Distingue-se a segunda da primeira, vendo que todos os vértices são da espécie 3.3.4.3.4, o que se pode perceber observando as ilustrações.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e hexágonos regulares com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360).





Na segunda, cada vértice é vértice de 4 triângulos e 1 hexágono, sendo todos os vértices da mesma espécie 3.3.3.3.6 (4x60+1x120=360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.