Perspetividades e projetividades preservam as relações harmónicas

Na figura dinâmica abaixo, apresentam-se um feixe abcf de centro S, cortado por duas retas que não passam por S, sendo
A→a→A', B→b→B' e C→c→C', F→f→F'
ABCF→_Sabcf→_SA'B'C'F'
que é o mesmo que dizer ABCF e A'B'C'F' são S-perspetivos.
Por construção, os pontos ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF).
Pelos resultados da página anterior sabemos que se ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF) então abcf é um feixe harmónico. E se abcf é um feixe harmónico então a sua secção A'B'C'F' por uma reta é um conjunto harmónico de pontos. Resumindo
Se ABCF e A'B'C'F' são perspetivos e H(AB,CF) então H(A'B',C'F')
que é o mesmo que dizer que as perspetividades preservam a relação harmónica. Como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que a projetividade preserva a relação harmónica. [Por exemplo, von Staudt definia projetividade como correspondência biunívoca que transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos]. E, como já vimos em entrada anterior, quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados aos pares por uma projetividade, por exemplo,
ABCF e FCBA são projetivos, como são projetivos ABCF e CFBA. ABCF e CFAB, ABCF e FCAB
E, assim, como o projetivo de um harmónico, harmónico é, podemos concluir que:
se H(AB,CF), então H(FC,BA) e também H(CF,BA), H(CF,AB), H(FC,AB).