Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por, colinear e concorrente, vértice e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos (com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

Já várias vezes referimos e utilizámos o princípio da dualidade quando, por exemplo, definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente, como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)



2. quadrilátero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4 retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).
   
   
3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais. Depois de usar os axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos imediatamente afirmar o teorema dual.
Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).
Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e, principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter demonstrado 20