Notas sobre configurações e dualidade

No plano, consideramos pontos e retas, sendo as retas conjuntos de pontos. Claro que já tratámos de conjuntos de pontos e retas. Para cada um desses conjuntos terá interesse saber 4 números: o número de pontos e o número de retas, o número de retas que passa por cada um dos pontos e o número de pontos que pertencem a cada uma das retas.
Por exemplo, um quadrilátero pode ser um conjunto de 4 pontos e 6 retas, sendo que por cada um dos 4 pontos passam 3 retas e cada uma das 6 retas passa por 2 pontos. Descrevemos o quadrilátero completo como sendo uma configuração (4₃, 6₂). Claro que um quadrilátero completo também pode ser definido com uma configuração (6₂, 4₃), 6 pontos com 2 retas a passar por cada um deles e 4 retas com 3 pontos a incidir em cada uma delas. Estas duas configurações são duais.
Numa configuração auto-dual o número de retas é igual ao número de pontos e o número de pontos de cada uma das retas é igual ao número de retas a incidir em cada ponto. Por exemplo o triângulo tem a seguinte configuração (3₂, 3₂) nas duas definições duais.
A configuração de Desargues também é autodual, exatamente (10₃, 10₃), como se pode ver:
A,B,C, A',B',C', O(=AA'.BB'=AA'.CC'=BB'.CC'), I(=AB.A'B'),J(=AC.A'C'),K(=BC.B'C') - 10 pontos
IAB, IA'B', JAC, JA'C', KBC, KB'C', OAA', OBB', OCC', IJK - 10 retas
Por cada ponto 3 retas, em cada reta 3 pontos.